Hartshorne 第三章第三节习题

2023 年 03 月 17 日发布, 最近修改于 2023-03-20.

3仿射 Noether 概形的上同调
习题 1
习题 2
习题 3

Hartshorne 3.3 的习题.

3仿射 Noether 概形的上同调

习题 1. 设 $X$ 为 Noether 概形. 证明 $X$ 仿射当且仅当 $X_{red}$ 仿射. [提示: 使用定理 3.7¹, 并且对任意凝聚层 $F$ 考虑滤过 $F \supseteq N \cdot F \supseteq N^{2} \cdot F \supseteq \dots$ 其中 $N$ 为 $X$ 的幂零元构成的层.]

1.	$X$ 仿射当且仅当所有拟凝聚层的上同调消失.

证明.

证明. 若 $X$ 仿射, 显然有 $X_{red}$ 仿射.

反之, 设 $X_{red}$ 仿射. 设 $F$ 是 $X$ 上的拟凝聚层. 若能证明 $H^{1} (X, F) = 0$ , 则由 Serre 定理即知 $X$ 仿射.

记 $N$ 为 $O_{X}$ 中所有幂零元组成的理想层. 由于 $X$ Noether, 存在 $n$ 使得 $N^{n} = 0$ . 记 $F_{k} = N^{k} \cdot F$ , 则 $F_{k} / F_{k + 1}$ 同时也是 $O_{X, red}$ 层. 通过考虑一族仿射覆盖上的情形, 即知 $F_{k} / F_{k + 1}$ 也是 $O_{X, red}$ 上的拟凝聚层. 由于 $X_{red}$ 仿射, 即知 $H^{1} (X, F_{k} / F_{k + 1}) = 0$ . 而 $F_{n} = 0$ . 因此重复使用由上同调的长正合列立知 $H^{1} (X, F) = 0$ .

综上,

X

仿射.

$□$

习题 2. 令 $X$ 为既约 Noether 概形. 证明 $X$ 仿射当且仅当其每个不可约分支仿射.

证明.

证明. 必要性: 若 $X ≅ Spec A$ , 则其不可约分支即为 $Spec (A / p)$ , 其中 $p$ 是极小素理想, 因此也仿射.

充分性: 设

X

的不可约分支为

X_{1}, \dots, X_{n}

, 且

X_{k}

都为仿射概形, 其对应的理想层为

I_{k}

, 则

I_{1} I_{2} \dots I_{n} = 0

(在每个仿射开集上验证即可, 所有极小素理想之交为幂零根). 对

O_{X}

上任意拟凝聚层

F

, 设

F_{k} = I_{1} I_{2} \dots I_{k} F, F_{0} = F

. 则

F_{k - 1} / F_{k}

支撑在

X_{k}

上, 且为

O_{X_{k}}

拟凝聚层. 因此由

H^{1} (X, F_{k - 1} / F_{k}) ≅ H^{1} (X_{k}, F_{k - 1} / F_{k}) = 0

和长正合列即知

H^{1} (X, F) = 0

. 所以

X

仿射.

$□$

习题 3. 令 $A$ 为 Noether 环, $a$ 为 $A$ 的理想.

1.	证明 $Γ_{a} (\cdot)$ 是从 $A$ -模范畴到本身的左正合函子. 我们记其右导出函子 (在 $Mod (A)$ 中计算) 为 $H_{a}^{i} (\cdot)$ .
2.	设 $X = Spec A, Y = V (a)$ . 证明对任意 $A$ -模 $M$ , $H_{a}^{i} (M) = H_{Y}^{i} (X, \tilde{M}) .$
3.	对任意 $i$ , 证明 $Γ_{a} (H_{a}^{i} (M)) = H_{a}^{i} (M)$ .

证明.

设 $0 \to M^{'} i M p M^{''} \to 0$ 为 $A$ -模正合列. 设其作用 $Γ_{a} (\cdot)$ 后为 $Γ_{a} (M^{'}) \tilde{i} Γ_{a} (M) \tilde{p} Γ_{a} (M^{''}) .$ 显然 $\tilde{i}$ 仍然为单射, 且 $im \tilde{i} = im i \cap Γ_{a} (M) = ker p \cap Γ_{a} (M) = ker \tilde{p}$ . 因此 $Γ_{a}$ 左正合.

按定义, 对任意 $m \in M = Γ (X, \tilde{M})$ , $Supp m \subseteq V (a) ⟺ \forall f \in a, m ∣_{D (f)} = 0 ⟺ \forall f \in a, \exists n, f^{n} m = 0 ⟺ \exists n, a^{n} m = 0.$ 最后一步使用了 $A$ 的 Noether 性. 因此 $Γ_{a} (M) ≅ Γ_{Y} (X, \tilde{M})$ .

取 $M$ 的内射消解 $I^{∙}$ . 则由于 $X$ 仿射, $\tilde{I^{∙}}$ 松. 而 $M \mapsto \tilde{M}$ 是正合函子, 因此 $\tilde{I^{∙}}$ 是 $\tilde{M}$ 的松消解. 两边分别应用 $Γ_{a} (\cdot)$ 和 $Γ_{Y} (X, \cdot)$ , 取上同调即知 $H_{a}^{i} (M) ≅ H_{Y}^{i} (X, \tilde{M})$ .

按定义,

H_{a}^{i} (M)

是

M

的消解的

Γ_{a}

的上同调群, 也就是某些

Γ_{a} (I)

的子商. 显然对

Γ_{a} (I)

的任意子商

N

都有

Γ_{a} (N) = N

$□$