Hartshorne 第二章第四节习题

2022 年 11 月 30 日 发布

这里是 Hartshorne 第二章第四节习题. 目前还在做.

4可分与紧合态射

习题 4.1. 证明有限态射紧合.

证明.

证明. 有限, 则对 中任意仿射开集 , 都有 仿射, 因此 分离. 因此 分离.

按定义, 有限型. 由于有限态射的基变换仍然有限, 且有限态射总是闭映射 (习题 3.5), 即知 泛闭.

因此 紧合.

习题 4.2. 为概形, 上的既约概形, 上的分离概形. 令 都是 上的 -态射, 且在 的某个稠密开集上一致. 证明 . 给出反例说明在 不既约或者 不分离的情况下都未必成立. [提示: 给出 的映射.]

证明.

证明. 是由 决定的映射. 设 是稠密开集使得 . 那么 . 由于 上分离, 是闭子概型 (且配备). 因此 . 由于 既约, (作为概形论像) 具有既约闭子概形结构. 从而 穿过 . 因此 .

不既约, 则 不蕴含 穿过 . 例如, 若 是仿射直线 , , 即仿射直线在原点处多出一个无穷小. 考虑 诱导的两个 同态. 它们在 去掉原点的稠密开集上一致, 但是却不相等.

不分离, 则未必有 . 例如, 若 是带有双原点的直线, 的闭包 (具有四个原点), 而 是两个投影映射. 那么在去掉四个原点之后剩下的稠密开集上 一致. 但是 .

习题 4.3. 是仿射概形 上的分离概形. 若 的仿射开集, 则 亦仿射. 给出反例说明这在 不分离的情况下未必成立.

证明.

证明. 我们有 . 因此由 分离, 即知 的闭子概形. 事实上, 如下交换图是个拉回 (是个◰图!): 由于 是仿射概形, 其闭子概形 也一定是仿射概形 (习题 3.11).

未必分离, 可以取 为带有两个原点的仿射平面, 分别是去掉其中一个原点之后得到的仿射平面. 那么 是去掉原点的仿射平面, 并不仿射.

习题 4.4. 为 Noether 概形 上的有限型可分概形之间的态射. 设 的闭子概形, 且 上紧合. 证明 中闭, 并且 配备概形论像结构也在 上紧合. 我们将这个结论称为 “紧合概形的像紧合”. [提示: 将 分解为图像 和投影 的复合, 并证明 是闭浸入.]

证明.

证明. 由于紧合蕴含有限型且可分, 可以直接将 替换为 , 因此不妨假设 紧合. 众所周知, 如下 “魔法交换图” 是拉回图. 因此由于 是闭浸入, 即知 也是闭浸入. 我们知道 的基变换, 因此也是闭映射. 综上, 是两个闭映射的复合, 从而也是闭映射, 因此 是满同态.

任取 上的概形 , 考虑 . 其中 依然是满射 (因为基变换保持满射), 是闭映射. 因此 一定是闭映射. 所以 上泛闭.

显然 上分离且有限型. 因此 紧合.

习题 4.5. 为域 上的有限型整概形, 其函数域为 . 如果 的某个赋值的赋值环支配局部环 , 其中 , 就说此赋值具有中心 .

(a)

上分离, 则 的每个赋值的中心 (如果存在) 一定唯一.

(b)

上紧合, 则 的每个赋值都存在唯一的中心.

(c)

证明 (a) 和 (b) 的逆命题. [提示: 虽然 (a) (b) 是赋值判别法的简单推论, 但是逆命题需要不同的域中的赋值之间的比较.]

(d)

上紧合, 且 代数闭, 证明 . 这推广了 (I, 3.4a). [提示: 令 , 证明存在 的赋值环 使得 . 然后使用 (b) 得出矛盾.]

注意: 上的代数簇, 则 (b) 有时会作为完备簇的定义.

证明.

证明.

(a)

的赋值环, 则自然有态射 . 因此易知, 给出 对应的赋值的中心等价于给出下图中虚线的映射: 由赋值判别法, 若 分离, 则这样的态射至多唯一, 因此中心唯一.

(b)

同上, 由赋值判别法, 若 紧合, 则这样的态射存在, 因此中心存在.

(c)

考虑应用赋值判别法. 设 的扩域, 的赋值环, 并且有如下交换图: 我们想给出 态射的唯一性或是存在唯一性. (这里专指使得上述图图表交换的态射, 下同.) 若 中的唯一的点映射到了 的一般点, 则 的子域, 而 中的赋值环. 因此有交换图由前提可知 的态射唯一 (或存在唯一). 若有 , 则 的闭点映射到 , 且 支配 . 由于 , 即知 支配 . 因此 的态射与 的态射一一对应, 亦唯一 (或存在唯一).

的点映射到任意的 , 则需考虑 上的既约闭子概形 ; 显然是 的概形论像, 因此只需将 替换为 重复上述论证.

因此, 问题转化为若 满足 (a) 或 (b) 中条件, 的不可约闭子概形, 则 也满足相同条件. 我们首先需要一个引理:

引理. 是紧合支配态射 (或者说紧合满态射), 其中 都是域 上的整概形. 则 满足上述条件当且仅当 满足相同条件.

证明.

证明. 的赋值环. 由于 支配, 其一定把 的一般点打到 的一般点, 因此有包含 . 令 中支配 的赋值环. 我们断言 : 若不然, 取 . 则 , 这与 支配 矛盾.

若要给出 中的一个中心, 就等价于给出一个 使得 支配 . 那么 中支配 . 因此我们有交换图因此由于 紧合, 就可以将 的映射唯一地提升到 . 也就是说对于 中任意一个中心, 都存在恰好一个 中的中心如此对应.

反之, 若 中的中心, , 则 支配 , 因此 也支配 . 而 , 因此 支配 . (事实上就是说 上的推出). 因此 中的中心和 中的中心以如下交换图的方式一一对应: 因此即证.

我们取 的正规化 (习题 3.8), 则 有限, 因此紧合. 其显然是满射, 从而满足引理条件, 因此 也满足相应条件.

的不可约闭子概形, 考虑到基变换保持有限性和满射性, 即知 也是有限满射, 从而也满足引理条件. 同时, 由于其紧合且 不可约, 一定存在 的不可约分支 使得 亦是满射. 为 配备既约闭子概形结构, 则 是紧合满射, 从而满足引理条件. 由于 也是 的闭子概形 (习题 3.11), 即知 的不可约闭子概形.

因此问题归约为: 若 是域 上的有限型正规整概形, 是其不可约闭子概形, 满足条件 (a) 或 (b), 那么 也满足相同的条件. 通过归纳, 我们不妨假设 中具有余维数 . 设 的一般点为 , 则 是一维整闭 Noether 局部整环, 因此是离散赋值环.

现在设 是赋值环, . 令 为商同态, . 则 中的赋值环: 任取 , 由于 是离散赋值环, . 不妨设为前者. 若 , 则 ; 否则 其中之一属于 , 因此 或者 . 综上, 对任意 , 必然有 至少一条成立. 因此 是赋值环.

中的中心, 则 支配, 从而 也是 里的中心. 反之, 若 的中心, 则 , 因此 , 且显然 也是 的中心. 因此即证.

(d)

. 由于 代数闭, 是整环. 考虑考虑 . 由 Zorn 引理, 存在极大的支配 的局部环 , 即存在赋值环 使得 .

由 (b), 存在 使得 支配 . 因此 . 但是这与 矛盾.

习题 4.6. 上仿射簇之间的紧合态射, 则 有限.

注. Hartshorne 中用簇表示代数闭域上的有限型可分整概形.

证明.
证明., 则 诱导 的环态射, 仍记作 . 由于 紧合, 因此有限型, 即 上有限型. 从而为了证明 上有限, 只需证明 上整. 记 的分式域. 由整合的赋值判别法, 对于任意赋值环 , 只要 , 就有 . 由于所有包含 的赋值环之交即为 的整闭包, 即知 上整, 从而有限. 因此 有限.

习题 4.7 ( 上的概形). 对任意 上的概形 , 记 . 设 为共轭映射, 为在 上不变, 在 上应用 得到的态射. 那么 上的概形, 是其半线性自同态, 即有交换图由于 , 我们将 称为对合.

(a)

上的有限型可分概形, 为其上的半线性对合, 并且假设对任意 , 都存在包含它们的仿射开集 (比方说, 若 拟投射, 则该条件成立). 证明存在唯一的 上可分有限型概形 , 使得 , 且该同构将 与上述的对合等同.

在接下来的命题中, 总代表 上的可分有限型概形, 且 如上述定义为其对应的 上的概形与对合.

(b)

证明 仿射当且仅当 仿射.

(c)

是这样的两个概形, 则给出态射 等价于给出态射 使得其与对合交换, 即 .

(d)

, 则 .

(e)

, 则或者 , 或者 同构于 中由齐次方程 给出的三次曲线.

证明.

证明.

(a)

首先考虑 仿射的情况. 若 , 则 诱导 . 取 , 不难验证其满足条件.

任意, 我们先给出 的底空间. 的底空间即为 的底空间商去 得到的商空间. 设对应的商映射为 .

接下来考虑 中一切满足 的仿射开集 . 对任意 , 按题设, 存在仿射开集 使得 . 按习题 4.3, 仍仿射, 且其包含 . 因此这样的仿射开集构成了 的一族开覆盖, 从而对应的 也形成 的一族开覆盖.

对每个 , 我们按照仿射的情况的办法, 得到一个 , 显然其底空间自然地与 同胚, 因此我们可以将其看作 上的概形结构. 接下来只需证明这些概形结构都兼容即可.

都是符合条件的仿射开集, 由习题 4.3, 也是符合条件的仿射开集. 因此为了验证 对应的概形结构兼容, 只需验证 的情况即可. 这样问题就转化为了简单的交换代数问题, 即若 上的环, 给出 的保持共轭的态射, 就自然的给出了 的态射. (验证对应的 也是开浸入是简单的).

综上, 我们可以把所有 上的仿射结构粘接成为概形 , 并且可以把 的映射也粘接成 . 那么对每个 , 都有 . 按纤维积的定义, 即知 , 且 确实与上面定义的对合等同. 的有限生成性可以在每个 上局部地验证. 而 可以写成复合 . 其中 由题设分离, 的基变换, 而 是仿射概形之间的态射, 因此分离.

对于唯一性, 若 是另一个满足条件的概形, 易知 的底空间与 的底空间 (自然地) 同胚. 且对于 的任意仿射开集 , 取 中的仿射开集 . 则使用与前面确定仿射开集间相容的办法即知 . 由 的任意性即知 .

(b)

, 则 . 反之若 , 则由唯一性知 , 其中 诱导的共轭映射.

(c)

只需在仿射开集上验证. 显然.

(d)

到自身的同构, , 且 限制在 上是共轭映射, 设 , 则 . 因此只可能 . 从而若 , 则 上的对合只可能是 诱导的对合. 对应的, 即为子环 的素谱. 设 , 则 给出了 的同构. 因此 .

(e)

是满足条件的对合.

若存在闭点 使得 , 则 限制在 上给出了 的对合. 而 , 因此由 (d) 易知存在 使得 . 再设 . 则由 (d) 可以得到 使得 , . 且 恰好是这样诱导的对合. 而由 (c) 即知 可以粘接为 . 显然 .

若不然, 任取闭点 . 通过坐标变换, 不妨设 (即 ). 则 固定 , 设其对应的 的环自同构为 . 类似于 (d), 不难说明在一定的坐标变换后 . 但是 没有不动点, 因此只能 . 从而对应的不变子代数为 . 也就对应了 中的三次曲线 .

习题 4.8. 为概形态射的某种性质, 满足:

(a)

闭浸入都满足 .

(b)

两个 态射的复合也满足 .

(c)

态射的基变换也满足 .

证明:

(d)

态射的乘积也满足 .

(e)

使得 满足 分离, 则 也满足 .

(f)

满足 , 则 也满足 .

[提示: 对于 (e), 考虑像态射 , 并注意其可以由 基变换得到.]

证明.

证明.

(d)

都满足 , 其中 . 则 . 因此只需考虑 的情况. 即需要证明若 满足 , 则 也满足 . 但是由泛性质易知下面的图表是拉回图: 因此即证.

(e)

正如习题 4.4, 如下 “魔法交换图” 是拉回图, 因此 是闭浸入, 从而满足 . 另一方面, 的基变换, 因此也满足 . 所以其复合 满足 .

(f)

由于 是闭浸入, 所以 作为复合也满足 . 也是闭浸入, 因此分离. 因此由 (e) 即知 满足 .

习题 4.9. 证明射影态射的复合也射影. [提示: 使用 (I, Ex 2.14) 中的 Segre 嵌入, 并证明其给出了 的闭浸入.] 由此推断射影态射满足上述习题 4.8 中的 (a)-(f) 所有性质.

证明.

证明. 考虑到 可以由 个开集 覆盖, 且 可以由 个开集 覆盖. 因此 可以由 覆盖. 对每个 , 考虑同态显然此同态是满射, 且其给出了 的态射 (我们将后者的坐标记作 ). 这些态射可以粘接为 . 由于对每个 , 都有 是闭浸入 (因为上述环同态是满射). 从而 也是闭浸入.

现在我们证明射影态射的复合射影. 由上述结论, 对于任意概形 , 有 , 因此其是 的闭子概形. 因此若 都射影, 设 的闭子概形, 的闭子概形. 则 是闭浸入的复合, 也是闭浸入. 因此 射影.

显然射影性还满足习题 4.8 的 (a) (c), 因此它也满足 (d) (e) (f).

习题 4.10 (周引理). 这个结论告诉我们紧合态射几乎就是射影态射. 令 是 Noether 概形 上的紧合概形, 那么存在 以及态射 , 使得 上投射, 并且存在稠密开集 , 是同构. 依照下列步骤证明此结论.

(a)

归约到 不可约的情形.

(b)

证明 可以由有限多个开集 覆盖, 其中每个 都在 上拟射影. 令 为从 上的射影概形 的开浸入.

(c)

, 考虑由 以及 给出的态射 为概形论像 . 令 为其向第一个分量的投影态射, 并令 为到剩余的分量的投影态射. 证明 是闭浸入, 因此 上射影.

(d)

证明 是同构, 从而完成证明.

证明.

证明. 事实上可以进一步要求 是满射.

(a)

中不可约分支为 . 记 , 是 的开子概形. 记 中的概形论像. 由于 Noether, 通过考虑 中每个仿射开集, 易知 映射中 是同构. 且显然 不可约, 并且 上紧合. 若命题对不可约紧合概形成立, 则对每个 , 存在射影概形 与映射 . 取 , 则显然 满足条件. (射影概形的不交并可以嵌入到射影空间的乘积中, 因此由 Serge 嵌入即知其仍然射影.)

(b)

可以由仿射开集 覆盖, 而 中的原像可以由仿射开集 覆盖. 由于 上紧合, 即知 是有限生成 代数. 因此 可以闭浸入到 , 再开浸入到 , 然后再开浸入到 .

为了说明 上投射, 我们需要引理:

引理. 是浸入, 即存在 使得 可以分解为闭浸入 复合开浸入 , 并且 既约, 或者 拟紧, 那么 就可以分解为开浸入 复合闭浸入 , 其中 的概形论像.

证明.
证明. 既约, 可以取 上的既约闭子概形. 若 拟紧, 由于其分离, 即知 上的拟凝聚层, 从而 是拟凝聚理想层. 设 对应的闭子概形. 在两种情况下, 都易知 的概形论像, 并且 : 既约的情形可以由泛性质立得, 而拟紧的情形可以在局部上验证. 因此 是开浸入 的基变换, 亦是开浸入.

因此 的闭子概形的开子概形, 从而在 上拟射影.

(c)

. 定义我们希望证明 , 即 . 为此, 只需要证明 (作为底空间的映射) , 其中 . 然而这两个映射在 上相等, 且 中稠密, 因此确有 . 而 覆盖 , 因此 覆盖 , 所以 也覆盖 . 为了证明 是闭浸入, 只需证明每个 是闭浸入.

由于这里讨论的一切概形都 Noether, 所以一切态射都拟紧. 因此类似于上面的引理, 概形论像总是某个拟凝聚层对应的闭子概形. 由于取拟凝聚层对应的闭子概形的操作与取开子概形兼容, 即有概形论像的开子概形同构于开子概形的概形论像. 这里 中的概形论像. 而 的开子概形, 从而 的开子概形. 显然 穿过 . 因此 同构于 中的概形论像. 只需证明其到 是闭浸入.

考虑到 , 就有态射 , 从而有像态射 . 显然态射 穿过 (因为 穿过 ). 而 是此态射的概形论像, 从而依定义即知 也穿过 , 并且是闭浸入. 但是 通过投影同构于 . 因此 闭浸入到 . 命题即证.

(d)

同 (c), 同构于 中的概形论像. 但是 是闭浸入 (这是 的像态射), 所以这就同构于 .

习题 4.11. 如果可以证明一些困难的交换代数命题, 并且只考虑 Noether 概形, 那么我们可以只用离散赋值环来叙述赋值判别法.

(a)

是 Noether 局部整环, 其分式域为 , 且 上有限生成域扩张, 那么存在 的离散赋值环 支配 . 按以下步骤证明这个结论: 首先取 的多项式环, 归约到 的有限扩域的情形. 接下来证明可以取 的一组合适的生成元 , 使得 是真子理想. 接下来令 的一个极小素理想, 并设 的局部化. 它是支配 的一维 Noether 局部整环. 令 中的整闭包. 使用 Krull–Akizuki 定理 (见 Nagata [7, p. 115]) 证明 也是一维 Noether 整环. 最后取 在任意极大理想处的局部化.

(b)

为 Noether 概形之间的有限型态射. 证明 分离 (或紧合) 当且仅当赋值判别法对一切离散赋值环成立.

证明.

证明. 对于 (a). 首先, 显然该命题若对 都成立, 则它也对 成立. 因此对任意 , 取其中一组超越基 , 考虑 . 对于 , 只需对 , 定义 即可. 也就是说, 只需要考虑 , 即域扩张有限的情况.

下面设 有限. 待证.

习题 4.12 (赋值环的例子). 为代数闭域.

(a)

上的一维函数域 (I, §6), 则 的任意赋值环 (除了 本身) 都是离散赋值环. 因此它们构成的集合恰好就是 (I, §6) 中所有的抽象非奇异曲线 .

待续.