Hartshorne 第二章第三节习题

2022 年 10 月 23 日发布. pdf 版本: hartshorne-2-3.pdf.

这里是 Hartshorne 第二章第三节习题.

3概形的基本性质

习题 1. 证明概形同态 $f : X \to Y$ 局部有限型当且仅当对 $Y$ 中任意仿射开集 $V = Spec B$ , $f^{- 1} (V)$ 都可以由若干仿射开集 $U_{j} = Spec A_{j}$ 覆盖, 其中 $A_{j}$ 都是有限生成 $B$ -代数.

证明.

证明. 充分性显然, 只需证明必要性. 首先要证明: 若 $Y$ 中仿射开集 $V = Spec B$ 满足条件, $b \in B$ , 则 $D (b) = Spec B_{b} \subseteq V$ 也满足条件. 这是因为对每个 $U_{j} = Spec A_{j}$ , 都有 $U_{j} \cap f^{- 1} (D (b)) = Spec (A_{j})_{\overset{ˉ}{b}}$ , 且 $(A_{j})_{\overset{ˉ}{b}}$ 是有限生成 $B_{b}$ -代数 ( $\overset{ˉ}{b}$ 是 $b$ 的像). 因此满足条件的仿射开集 $V \subseteq Y$ 构成 $Y$ 的一组基.

再设

V = Spec B

是

Y

中任意的仿射开集. 则

V

可以由有限个基本开集

D (b_{i})

覆盖, 且每个

D (b_{i})

都满足条件, 即存在若干

U_{ij} = Spec A_{ij}

覆盖

f^{- 1} (D (b_{i}))

, 使得

A_{ij}

是有限生成

B_{b_{i}}

代数. 因此它们也都是有限生成

B

代数, 并且覆盖

f^{- 1} (V)

. 因此

V

也满足条件.

$□$

习题 2. 设 $f : X \to Y$ 是概形同态. 若 $Y$ 可以由若干仿射开集 $V_{i}$ 覆盖, 且其中每个 $f^{- 1} (V_{i})$ 都拟紧, 就称 $f$ 拟紧. 证明 $f$ 拟紧当且仅当对任意仿射开集 $V \subset Y$ , $f^{- 1} (V)$ 都拟紧.

证明.

证明. 充分性显然, 只需证明必要性. 显然, 概形中的开集拟紧当且仅当其可以被有限个仿射开集覆盖.

设 $V = Spec B$ 满足 $f^{- 1} (V)$ 拟紧, 记其被 $U_{1}, \dots, U_{k}$ 覆盖, 其中 $U_{i} = Spec A_{i}$ . 则对任意 $b \in B$ , $f^{- 1} (D (b))$ 可以被 $U_{i} \cap f^{- 1} (D (b)) = Spec (A_{i})_{\overset{ˉ}{b}}$ 覆盖. 因此满足条件的开集构成基.

再设

V = Spec B

是

Y

中任意仿射开集, 则其可以有有限个基本开集

D (b_{i})

覆盖, 其中每个

f^{- 1} (D (b_{i}))

拟紧. 因此

f^{- 1} (V) = ⋃ f^{- 1} (D (b_{i}))

拟紧.

$□$

习题 3.

(a)	证明概形同态 $f : X \to Y$ 有限型当且仅当其局部有限型且拟紧.
(b)	由此说明 $f$ 有限型当且仅当对 $Y$ 中任意仿射开集 $V = Spec B$ , $f^{- 1} (V)$ 都可以被有限个仿射开集 $U_{j} = Spec A_{j}$ 覆盖, 其中每个 $A_{j}$ 都是有限生成 $B$ -代数.
(c)	证明如果 $f$ 有限型, 则对 $Y$ 中任意仿射开集 $V = Spec B$ , 以及 $X$ 中任意仿射开集 $U = Spec A \subseteq f^{- 1} (V)$ , $A$ 都是有限生成 $B$ -代数.

证明.

(a)

若 $f$ 有限型, 则其当然局部有限型. 且若 $Y$ 中的仿射开集 $V = Spec B$ 使得 $f^{- 1} (V)$ 可以被有限个仿射开集覆盖, 则 $f^{- 1} (V)$ 当然拟紧. 因此 $f$ 拟紧.

反之, 若 $f$ 局部有限型且拟紧, 则由前两习题知: 对 $Y$ 中任意仿射开集 $V = Spec B$ , $f^{- 1} (V)$ 可以被若干仿射开集 $U_{i} = Spec A_{i}$ 覆盖, 每个 $A_{i}$ 都是有限生成 $B$ -代数. 而 $f^{- 1} (V)$ 又拟紧, 从而可以被这其中有限个所覆盖. 因此 $f$ 有限型.

(b)

由前两习题及 (a) 即证.

(c)

固定 $V = Spec B$ . 若 $U = Spec A \subset f^{- 1} (V)$ 满足 $A$ 是有限生成 $B$ -代数, 则对任意 $a \in A$ , $A_{a}$ 也是有限生成 $B$ -代数. 因此 $f^{- 1} (V)$ 中所有满足 $U = Spec A$ 且 $A$ 是有限生成 $B$ -代数的仿射开集构成一组基.

现在任取

f^{- 1} (V)

中的仿射开集

U = Spec A

. 则存在有限个

a_{i} \in A

, 它们生成

A

, 且每个

A_{a_{i}}

都是有限生成

B

-代数. 设

n

是足够大的正整数, 使得每个

A_{a_{i}}

都可以通过

a_{i}^{- n} x_{ij}

在

B

上生成. 由于所有

a_{i}

生成

A

, 所有

a_{i}^{n}

也生成

A

. 不妨设

1 = \sum_{i} y_{i} a_{i}^{n}

. 则对任意

a \in A

a = \sum_{i} y_{i} (a_{i}^{n} a)

. 因此易知

A

可以由

{x_{ij}} \cup {y_{i}}

在

B

上生成, 从而是有限生成

B

-代数.

$□$

习题 4. 证明: 概形同态 $f : X \to Y$ 有限当且仅当对 $Y$ 中任意仿射开集 $V = Spec B$ , $f^{- 1} (V)$ 都是仿射开集, 且若记 $f^{- 1} (V) = Spec A$ , 则 $A$ 在 $B$ 上有限.

证明.

证明. 充分性显然.

设

f

有限,

V = Spec B \subseteq Y, U = f^{- 1} (V) = Spec A

, 且

A

是有限

B

-模. 记

A \to B

的环同态是

φ

, 则对任意

b \in B

f^{- 1} (D (b)) = Spec A_{φ (b)}

是有限

B_{b}

-模. 再设

V = Spec B \subseteq Y

是任意仿射开集,

U = f^{- 1} (V)

. 则由上可知存在有限个

b_{i} \in B

, 它们生成

B

, 且每个

f^{- 1} (D (b_{i})) = Spec A_{i}

, 对应的

A_{i}

是有限

B_{b_{i}}

-模. 设

a_{i} = f^{♯} (V) (b_{i}) \in O_{X} (U)

. 则

a_{i}

也生成

O_{X} (U)

, 且每个

U_{a_{i}} = f^{- 1} (D (b_{i}))

仿射. 因此由习题 2.17 即知

U

也仿射. 记

U = Spec A

. 则每个

A_{a_{i}}

是有限

B_{b_{i}}

模. 接下来类似前一习题中的 (c) 易证

A

是有限

B

模.

$□$

习题 5. 设 $f : X \to Y$ 是概形态射. 若对每个 $y \in Y$ , $f^{- 1} (y)$ 都是有限集, 就称 $f$ 拟有限.

(a)	证明有限态射也拟有限.
(b)	证明有限态射是闭映射, 即其将任意闭子集映射到闭子集.
(c)	给出反例以证明有限型、拟有限、闭的满概形态射不一定是有限态射.

证明.

(a)

若 $y \in Y$ , 取包含 $y$ 的仿射开集 $V = Spec B$ . 记 $f^{- 1} (V) = Spec A$ , $y$ 对应 $B$ 中的素理想 $p$ . 则 $f^{- 1} (y)$ (至少作为拓扑空间) 同胚于 $Spec (B \otimes_{A} k (p))$ , 其中 $k (p) = A_{p} / p$ 是 $p$ 的剩余域.

而 $B \otimes_{A} k (p)$ 作为模是有限维 $k (p)$ -线性空间, 从而只包含有限个素理想.

(b)

在任意仿射开集上, 这就是上行性质. 由于概形被仿射开集覆盖, 命题即证.

(c)

取 “两个原点的直线” 到直线的映射即可. 显然其有限型, 拟有限, 满且闭. 但双原点的直线并不仿射, 因此这个映射并不有限.

又或者令

X = Spec Z [i]_{(1 + 2 i)}

, 其中

i^{2} = - 1

. 则

X \to Spec Z

有限型, 拟有限, 满且闭. 然而其不有限.

$□$

习题 6. 设 $X$ 是整概形. 证明一般点 $ξ$ 处的局部环 $O_{ξ}$ 是域. 其被称作 $X$ 的函数域, 记作 $K (X)$ . 证明如果 $U = Spec A$ 是 $X$ 的任意仿射开集, 则 $K (X)$ 同构于 $A$ 的分式域.

证明.

证明. 设

U = Spec A

是任意仿射开集, 则

ξ \in U

, 且

ξ

也是

U

的一般点. 因此

ξ

对应

A

中的零理想, 从而

O_{ξ}

同构于

A

的分式域.

$□$

习题 7. 设 $f : X \to Y$ 是概形同态, $Y$ 不可约, 如果对 $Y$ 的一般点 $η$ , $f^{- 1} (η)$ 是有限集, 就称 $f$ 一般有限. 如果概形同态 $f : X \to Y$ 的像集 $f (X)$ 在 $Y$ 中稠密, 就称 $f$ 支配. 现设 $f : X \to Y$ 是整概形之间的支配、一般有限、有限型同态. 证明存在稠密开集 $U \subseteq Y$ 使得诱导映射 $f^{- 1} (U) \to U$ 有限 [提示: 先证明 $X$ 的函数域是 $Y$ 的函数域的有限扩张].

证明.

证明. 设 $ξ, η$ 分别是 $X, Y$ 的一般点, $K, L$ 分别为 $X, Y$ 的函数域. 任取 $Y$ 中的仿射开集 $V = Spec A$ , 以及 $f^{- 1} (V)$ 中的仿射开集 $U = Spec A \subseteq f^{- 1} (V)$ . 由于 $f$ 支配且 $X$ 不可约, $f (U)$ 在 $V$ 中稠密, 因此 $A \otimes_{B} L$ 非零. 又因为 $f$ 有限型、一般有限, $A \otimes_{B} L$ 在 $L$ 上有限生成, 且仅包含有限个素理想 (与 $f^{- 1} (η)$ 一一对应).

由 Noether 正规化定理, 存在 $A \otimes_{B} L$ 的子环 $C ≅ L [y_{1}, \dots, y_{k}]$ 使得 $A \otimes_{B} L$ 在 $C$ 上整. 那么由上述一般有限性即知 $k = 0$ , 从而 $A \otimes_{B} L$ 在 $L$ 上整 (因此有限), 所以其分式域 $K$ 是 $L$ 的有限扩张.

更进一步地, 设 $f^{- 1} (V)$ 可以由有限个仿射开集 $U_{i} = Spec A_{i}$ 覆盖, 设 $A_{i} \otimes_{B} L$ 作为 $L$ -代数可以由 $x_{ij} \in A_{i}$ 生成. 由于它们在 $L$ 上整, 即满足 $L$ 系数首一多项式. 令 $f \in B$ 为这些多项式系数的分母的乘积, 则 $x_{ij}$ 在 $B_{f}$ 上整; 因此 $(A_{i})_{f}$ 在 $B_{f}$ 上整.

用 $D (f) = Spec B_{f}$ 代替 $Y$ , 用 $f^{- 1} (D (f))$ 代替 $X$ , 则问题归约为: 若 $f : X \to Y$ 是整概形同态, $Y = Spec B$ , 且 $X$ 可以被有限个仿射开集 $U_{i} = Spec A_{i}$ , 其中每个 $A_{i}$ 都是有限 $B$ -模, 就存在稠密开集 $V \subseteq Y$ 使得 $f^{- 1} (V) \to V$ 有限.

记

W = ⋂_{i} U_{i}

. 对每个

i

, 设

U_{i} - W = V (a_{i}), a_{i} \subseteq A_{i}

. 由于

A_{i}

在

B

上整, 存在

b_{i} \in B \cap a_{i}

. 设

V = ⋂_{i} D (b_{i}) \subseteq Y

, 显然

V ≅ Spec B [{b_{i}^{- 1}}_{i}]

. 且由于

f^{- 1} (V) \subseteq W

, 即知

f^{- 1} (V) ≅ ⋂_{i} D (b_{i}) \cap U_{j} ≅ Spec A_{j} [{b_{i}^{- 1}}_{i}]

仿射, 且

f : f^{- 1} (V) \to V

有限. 由于

Y

不可约,

V

是开集, 从而稠密.

$□$

习题 8 (正规化). 若一概形的所有局部环都整闭, 就称其正规. 令 $X$ 为整概形. 对每个仿射开集 $U = Spec A$ , 设 $\tilde{A}$ 是 $A$ 在其分式域中的整闭包, 令 $\tilde{U} = Spec \tilde{A}$ . 证明这些 $\tilde{U}$ 可以粘接成一个正规概形 $\tilde{X}$ , 称为 $X$ 的正规化. 再证明存在同态 $\tilde{X} \to X$ 满足如下泛性质: 对任意正规概形 $Z$ 和同态 $f : Z \to X$ , $f$ 都唯一地穿过 $\tilde{X}$ . 若 $X$ 在域 $k$ 上有限型, 则同态 $\tilde{X} \to X$ 有限. 这推广了第一章习题 3.17.

证明.

证明. 仿照构造纤维积的办法, 可以如下证明:

第一步, 若 $X = Spec A$ , 则 $\tilde{X} = Spec \tilde{A}$ 配备自然的同态 $\tilde{X} \to X$ 必定满足上述泛性质. 这可以由习题 2.4 自然得到.

第二步, 若 $g : \tilde{X} \to X$ 满足泛性质, $U$ 是 $X$ 的开子概形, 则 $g$ 在 $g^{- 1} (U)$ 上的限制 $g^{- 1} (U) \to U$ 也满足泛性质. 若 $Z$ 正规, $f : Z \to U$ , 则复合嵌入映射得到 $i \circ f : Z \to X$ . 由泛性质, $i : f$ 唯一地穿过 $\tilde{X}$ ; 显然其像集必定包含在 $g^{- 1} (U)$ 中.

第三步, 若 $U, V$ 都是 $X$ 中的仿射开集, 则 $U \cap V$ 在 $\tilde{U}$ 和 $\tilde{V}$ 中的原像都具有上述泛性质, 因此可以自然地等同. 这样就给出了将所有 $\tilde{U}$ 粘接为 $\tilde{X}$ 的办法. 且每个同态 $\tilde{U} \to U \to X$ 也可粘接成 $\tilde{X} \to X$ , 不难验证其满足泛性质.

接下来设

X

在

k

上有限型. 则

X

可以由有限个仿射开集

U_{i} = Spec A_{i}

覆盖, 且每个

A_{i}

都是有限生成

k

-代数; 因此

\tilde{A}_{i}

在

A_{i}

上有限. 所以

\tilde{X} \to X

有限.

$□$

习题 9. 回忆在代数簇范畴中, 两个代数簇的乘积的 Zariski 拓扑并不是乘积拓扑 (第一章习题 1.4). 我们将会看到, 在概形范畴中, 乘积概形的底集合甚至都不是乘积集合.

(a)

令 $k$ 是域, $A_{k}^{1} = Spec k [x]$ 是 $k$ 上的仿射直线. 证明 $A_{k}^{1} \times_{Spec k} A_{k}^{1} ≅ A_{k}^{2}$ , 并证明其底集合并不是两个因子的底集合的乘积 (即使 $k$ 代数闭也一样).

(b)

令 $k$ 是域, $s, t$ 是不定元, 则 $Spec k, Spec k (s), Spec k (t)$ 都是单点空间.

描述 $Spec k (s) \times_{Spec k} Spec k (t)$ .

证明.

(a)

由定义, $A_{k}^{1} \times_{Spec k} A_{k}^{1} = Spec (k [x] \otimes_{k} k [x]) = Spec k [x, y] = A_{k}^{2}$ . 其中任意显含两个变量的不可约多项式生成的素理想 (如 $(x - y)$ ) 都不属于两个因子底集合的乘积.

(b)

$k, k (s), k (t)$ 都是域, 因此其谱当然是单点空间.

然而

Spec k (s) \times_{Spec k} Spec k (t) = Spec (k (s) \otimes_{k} k (t))

. 而

k (s) \otimes_{k} k (t) = S^{- 1} k [s, t]

, 其中

S = {f (s) g (t) ∣ f, g \in k [x] ∖ {0}}

. 其素理想为

(0)

以及

(h (s, t))

, 其中

h

是同时显含

s

和

t

的不可约多项式. (hmm... 去掉所有闭点以及平行于坐标轴直线的平面?)

$□$

习题 10 (同态的纤维).

(a)

若 $f : X \to Y$ 是同态, $y \in Y$ , 证明 $sp (X_{y})$ 同胚于装备子空间拓扑的 $f^{- 1} (y)$ .

(b)

令 $X = Spec k [s, t] / (s - t^{2})$ , $Y = Spec k [s]$ , $f : X \to Y$ 是由 $s \mapsto s$ 决定的同态. 若 $y \in Y$ 是 $a \in k$ 对应的点且 $a \neq = 0$ , 证明纤维 $X_{y}$ 恰好包含两个点, 剩余域都是 $k$ . 若 $y \in Y$ 对应 $0 \in k$ , 则 $X_{y}$ 是非既约的单点概形. 若 $η \in Y$ 是一般点, 则 $X_{η}$ 是单点概形, 其剩余域是 $η$ 处剩余域的二次扩张 (假设 $k$ 代数闭).

证明.

(a)

记同态 $g : X_{y} = X \otimes_{Y} Spec k (y) \to X$ , 任取 $Y$ 中包含 $y$ 的仿射开集 $V = Spec B$ . 只需证明: 对 $f^{- 1} (V)$ 中任意仿射开集 $U$ , $g : g^{- 1} (U) \to U$ 在底空间上诱导了 $g^{- 1} (U)$ 和 $U \cap f^{- 1} (y)$ 的同胚. 而这种情况下, 设 $U = Spec A$ , $y$ 对应 $B$ 中的素理想 $p$ , 则 $g^{- 1} (U) = U \otimes_{V} Spec k (y) = Spec (A \otimes_{B} k (p)) = Spec (A_{p} / p A_{p}) .$ 因此显然.

(b)

若 $y$ 对应 $a \neq = 0 \in k$ , 则 $X_{y} = Spec (k [s, t] / (s - t^{2})) \otimes_{k [s]} (k [s] / (s - a)) = Spec (k [t] / (t^{2} - a)) .$ 其包含 $(t \pm a)$ 两个素理想.

若 $y$ 对应 $0 \in k$ , 则同理, $X_{y} = Spec (k [t] / (t^{2}))$ 是非既约的单点概形.

若

η

是一般点, 则

X_{η} = Spec (k [s, t] / (s - t^{2}))_{s} = Spec k (s)

, 而

k (s)

是

η

处的剩余域

k (s)

的二次扩张.

$□$

习题 11 (闭子概形).

(a)	闭浸入在基扩张下不变: 即若 $f : Y \to X$ 是闭浸入, $X^{'} \to X$ 是任意同态, 则 $f^{'} : Y \times_{X} X^{'} \to X^{'}$ 也是闭浸入.
(b)	若 $Y$ 是仿射概形 $X = Spec A$ 的闭子概形, 则 $Y$ 仿射; 事实上 $Y$ 一定是某个闭浸入 $Spec A / a \to Spec A$ 的像, $a$ 是合适的理想. [提示: 先证明 $Y$ 可以被有限个形如 $D (f_{i}) \cap Y$ 的仿射开集覆盖, 其中 $f_{i} \in A$ . 通过添加一些 $D (f_{i}) \cap Y = \emptyset$ 的 $f_{i}$ , 可以假设这些 $D (f_{i})$ 覆盖 $X$ . 接下来证明 $f_{i}$ 生成 $A$ , 因此由习题 2.17b 证明 $Y$ 仿射, 然后用习题 2.18d 证明 $Y$ 可以由某个理想 $a \subseteq A$ 得来.]
(c)	令 $Y$ 是 $X$ 的闭子集, 并为其装备既约诱导闭子集概形结构. 若 $Y^{'}$ 是 $X$ 中此闭子集上的另一个闭子概形, 证明闭浸入 $Y \to X$ 穿过 $Y^{'}$ . 我们可以将此性质表达为: 既约诱导闭子概形结构是闭子集上最小的闭子概形结构.
(d)	令 $f : Z \to X$ 是概形同态. 则 $X$ 中存在唯一的闭子概形 $Y$ 使得: $f$ 穿过 $Y$ ; 且若 $f$ 也穿过另一个闭子概形 $Y^{'}$ , 则 $Y \to X$ 也穿过 $Y^{'}$ . 我们将 $Y$ 称为 $Z$ 的概形论像. 若 $Z$ 既约, 证明 $Y$ 就是 $f (Z)$ 的闭包上的既约诱导闭子概形.

证明.

证明. 我们先证明 (b).

(b)	设 $Y$ 可以由仿射开集 $V_{i} = Spec B_{i}$ 覆盖, 而 $f (V_{i}) = (⋃_{j} U_{ij}) \cap f (Y)$ , 其中 $U_{ij}$ 是基本开集 $D (f_{ij})$ . 则对每个 $i, j$ , $f^{- 1} (U_{ij}) = Spec (B_{i})_{f_{ij}} \subseteq V_{i}$ 也仿射. 并且由于 $f (Y)$ 是 $X$ 中的闭集, 因此也拟紧, 从而可以选出有限个 $U_{ij}$ 覆盖 $f (Y)$ , 设为 ${D (g_{i})}_{i}$ . 通过添加一些 $D (g_{i}) \cap Y = \emptyset$ 的 $g_{i}$ , 不妨设这些 $D (g_{i})$ 覆盖了 $X$ ; 即 $g_{i}$ 生成了 $A$ . 设 $φ : A \to Γ (Y, O_{Y})$ 是 $f$ 诱导的整体截面上的映射, 则 $φ (g_{i})$ 生成了 $Γ (Y, O_{Y})$ . 且 $Y_{φ (g_{i})} = f^{- 1} (D (g_{i}))$ 均仿射. 因此由习题 2.17b 即知 $Y$ 是仿射概形. 再由习题 2.18d 即知 $Y ≅ Spec A / a$ .
(a)	若 $X, Y, X^{'}$ 都是仿射概形, 设为 $X = Spec A, Y = Spec A / a, X^{'} = Spec B$ (由习题 2.18d, $Y$ 一定形如 $Spec A / a$ ). 则 $Y \times_{X} X^{'} = Spec B / (B a)$ 到 $X^{'}$ 是闭浸入. 进一步地, 设 $X, Y$ 仍然仿射, $X^{'}$ 为任意概形. 设 $X^{'}$ 可以由若干仿射开集 $U_{i} = Spec B_{i}$ 覆盖. 则对每个 $U_{i}$ , $f^{' - 1} (U_{i}) ≅ Y \times_{X} U_{i}$ 到 $U_{i}$ 是闭浸入. 因此 $Y \times_{X} X^{'}$ 在 $X^{'}$ 中的像是闭集. 且由于层上的映射 $f^{'♯}$ 在每个开集上都是满射, 因此整体上也是满射. 因此 $Y \times_{X} X^{'} \to X^{'}$ 也是闭浸入. 若 $X, Y$ 未必仿射, 则设 $X$ 可以由仿射开集 $X_{i} = Spec A_{i}$ 覆盖. 设 $X_{i}$ 在 $Y, X^{'}$ 中的原像分别是 $Y_{i}, X_{i}^{'}$ . 显然, $Y_{i} \to X_{i}^{'}$ 也仍然是闭浸入, 因此由 (b) 即知 $Y_{i}$ 仿射. 由上述论证, 每个 $Y_{i} \times_{X_{i}} X_{i}^{'} \to X_{i}^{'}$ 都是闭浸入, 即 $Y \times_{X} X_{i}^{'} \to X_{i}^{'}$ 是闭浸入. 类似于上述推理即知 $Y \times_{X} X^{'} \to X^{'}$ 也是闭浸入.
(c)	由于可以将映射做粘接, 只需考虑 $X = Spec A$ 仿射的情况. 设 $Y = Spec a$ . 由 (b) 可知 $Y^{'}$ 也仿射, 设为 $Spec A / a^{'}$ , 则 $a = a^{'} \supseteq a^{'}$ , 因此 $Y \to X$ 穿过 $Y^{'}$ .
(d)	若 $X = Spec A$ 仿射, 则可以定义 $a = ker (A \to Γ (Z, O_{Z}))$ , 并定义 $Y = Spec A / a$ , 显然其满足泛性质. 此时, $Y$ 在底空间上就是 $f (Z)$ 的闭包. 且若 $Z$ 既约, 则 $A / a$ 也既约, 因此此时 $Y$ 就是既约诱导闭子概形. 若 $X$ 任意, 则对每个仿射开集定义 $Y$ 之后粘接起来即可. $□$

习题 12 ( $Proj S$ 的闭子概形).

(a)

设 $φ : S \to T$ 是分次环之间保持次数的满射. 证明习题 2.14 中的开集 $U$ 就等于 $Proj T$ , 且同态 $Proj T \to Proj S$ 是闭浸入.

(b)

若 $I \subseteq S$ 是齐次理想, $T = S / I$ , 令 $Y$ 为由 $Proj S / I \to Proj S$ 定义的 $X = Proj X$ 的闭子概形. 证明不同的齐次理想可以给出相同的闭子概形. 例如说, 设 $d_{0}$ 为整数, $I^{'} = ⨁_{d ⩾ d_{0}} I_{d}$ , 则 $I$ 和 $I^{'}$ 决定相同的闭子概形.

我们之后将会看到 $X$ 的任意闭子概形 (至少在 $S$ 是 $S_{0}$ 上的多项式环的时候) 都可以从 $S$ 某个齐次理想得来.

证明.

(a)

回忆 $U = {p \in Proj T ∣ p \neq \supseteq φ (S_{+})}$ . 若 $S \to T$ 是满射, 则 $S_{+} \to T_{+}$ 也是满射. 因此 $U$ 必然是全空间 $Proj T$ .

记同态 $f : Proj T \to Proj S$ , 则 $f^{♯}$ 在茎上的映射是 $S_{(φ^{- 1} (p))} \to T_{(p)}$ 都是满射. 因此 $f^{♯}$ 是满射. 而 $f (Proj T) = V (ker φ)$ 是 $Proj S$ 中的闭集. 因此 $f$ 是闭浸入.

(b)

若

I^{'} = ⨁_{d ⩾ d_{0}} I_{d}

, 则

S / I \to S / I^{'}

的映射在不小于

d_{0}

的次数上都是同构. 因此由习题 2.14c 即知

Proj S / I

和

Proj S / I^{'}

同构.

$□$

习题 13 (有限型同态的性质).

(a)	闭浸入有限型.
(b)	拟紧的开浸入 (习题 3.2) 有限型.
(c)	有限型同态的复合有限型.
(d)	有限型同态的基扩张仍然有限型.
(e)	若 $X, Y$ 都在 $S$ 上有限型, 则 $X \times_{S} Y$ 也在 $S$ 上有限型.
(f)	若 $X f Y g Z$ 是概形同态, $f$ 拟紧, $g \circ f$ 有限型, 则 $f$ 也有限型.
(g)	若 $f : X \to Y$ 有限型, $Y$ Noether, 则 $X$ 也 Noether.

证明.

(a)	若 $f : X \to Y$ 是闭浸入, 由习题 3.11 即知对 $Y$ 中任意仿射开集 $V = Spec A$ , 其原像都形如 $Spec A / a$ . 因此 $f$ 有限型 (甚至有限).
(b)	若 $f : X \to Y$ 是开浸入, 则对 $Y$ 中任意仿射开集 $U$ , $f^{- 1} (U) ≅ f (X) \cap U$ 可以由 $U$ 的若干个仿射开集覆盖, 因此局部有限型. 若 $f$ 拟紧, 则其有限型.
(c)	显然.
(d)	设 $f : X \to S$ 有限型, $g : S^{'} \to S$ . 若 $S = Spec A$ 仿射, 则对 $S^{'}$ 中任意仿射开集 $U = Spec A^{'}$ , 其在 $X \times_{S} S^{'}$ 中的原像是 $X \times_{S} U$ . 因此若 $X$ 可以由有限个仿射开集 $V_{i} = Spec B_{i}$ 覆盖, 每个 $B_{i}$ 都是有限生成 $A$ -代数, 则对应地, $X \times_{S} U$ 也可以由 $Spec (B_{i} \otimes_{A} A^{'})$ 覆盖, 且 $B_{i} \otimes_{A} A^{'}$ 是有限生成 $A^{'}$ -代数. 因此 $f$ 有限型. 一般情况下, 设 $S$ 可以由若干个仿射开集 $U_{i} = Spec A_{i}$ 覆盖. 记 $X_{i}, U_{i}^{'}$ 为 $U_{i}$ 在 $X, S^{'}$ 中的原像, 则 $X \times_{S} S^{'}$ 可以由 $X_{i} \times_{U_{i}} U_{i}^{'}$ 粘接而成. 而每个 $X_{i} \times_{U_{i}} U_{i}^{'}$ 在 $U_{i}^{'}$ 上有限型, 因此 $X \times_{S} S^{'}$ 在 $S^{'}$ 上有限型.
(e)	若 $U = Spec A$ 是 $S$ 中的仿射开集. 设其在 $X, Y$ 中的原像分别是 $X_{0}, Y_{0}$ , 则其在 $X \times_{S} Y$ 中的原像就是 $X_{0} \times_{U} Y_{0}$ . 因此若 $X_{0}, Y_{0}$ 分别有若干个在 $A$ 上有限型的环对应的仿射开集覆盖, 则 $X_{0} \times_{U} Y_{0}$ 就由这些环的张量积对应的仿射开集覆盖, 从而 $X \times_{S} Y$ 在 $S$ 上有限型.
(f)	对 $Z$ 中任意仿射开集 $U = Spec A$ , 若 $V = Spec B \subseteq g^{- 1} (U), W = Spec A =\subseteq f^{- 1} (V)$ 分别是 $Y, X$ 中的仿射开集, 则由 $g \circ f$ 有限型即知 $C$ 在 $A$ 上有限生成. 而 $A \to C$ 穿过 $B$ , 因此 $C$ 在 $B$ 上有限生成. 而 $Y$ 中满足这样条件的 $V$ 可以覆盖 $Y$ , 因此 $f$ 局部有限型. $f$ 又拟紧, 从而有限型.
(g)	若 $Y$ 可以由有限个仿射开集 $V_{i} = Spec A_{i}$ 覆盖, 其中每个 $A_{i}$ Noether, 则由于 $f$ 有限型, 每个 $f^{- 1} (V_{i})$ 又可以由有限个仿射开集 $U_{ij} = Spec B_{ij}$ 覆盖, 其中 $B_{ij}$ 在 $A_{i}$ 上有限生成. 由 Hilbert 基定理, $B_{ij}$ Noether. 因此 $X$ Noether. $□$

习题 14. 若 $X$ 是域上的有限型概形, 证明 $X$ 的闭点稠密. 给出反例说明这个结论对一般的概形并不成立.

证明.

证明. 我们断言: 若 $X$ 是域 $k$ 上的有限型概形, 则点 $p \in X$ 是闭点当且仅当其剩余域是 $k$ 的有限扩张.

事实上, 若 $k (p)$ 是 $k$ 的有限扩张, 则对 $X$ 中任意包含 $p$ 的仿射开集 $U = Spec A$ , 若 $p$ 对应 $p \subseteq A$ , 则 $A / p$ 的分式域同构于 $k (p)$ . 但 $A / p \to k (p)$ 又是 $k$ -同态, 因此 $A / p$ 在 $k$ 上有限, 从而必定是域. 也就是说, $p$ 在 $X$ 的任意仿射子集中闭, 从而在 $X$ 中闭.

反之, 若 $p \in X$ 是闭点, 则任取包含 $p$ 的仿射开集 $Spec A$ , 设 $p$ 对应 $p \subseteq A$ , 则由 Hilbert 零点定理即知 $k (p) = A / p$ 是 $k$ 的有限扩张.

因此, 若 $X$ 是域 $k$ 上的有限型概形, 由于每个仿射开集中有 (相对的) 闭点, 而由上述断言可知若 $p \in X$ 在某个开集中闭, 就一定是闭点; 因此 $X$ 中的闭点稠密.

若去除

X

的有限型条件, 则任取离散赋值环

A

, 那么

Spec A

即不满足条件 (因为存在非幂零但属于所有极大理想的元素).

$□$

习题 15. 令 $X$ 为域 $k$ (不一定代数闭) 上有限型概形.

(a)

证明以下三个条件等价 (若它们成立, 则称 $X$ 几何不可约):

(i)	$X \times_{k} \overset{ˉ}{k}$ 不可约, 其中 $\overset{ˉ}{k}$ 表示 $k$ 的代数闭包.
(ii)	$X \times_{k} k_{s}$ 不可约, 其中 $k_{s}$ 表示 $k$ 的可分闭包.
(iii)	对 $k$ 的任意扩域 $K$ , $X \times_{k} K$ 都不可约.

(b)

证明以下三个条件等价 (若它们成立, 则称 $X$ 几何既约):

(i)	$X \times_{k} \overset{ˉ}{k}$ 既约, 其中 $\overset{ˉ}{k}$ 表示 $k$ 的代数闭包.
(ii)	$X \times_{k} k_{p}$ 既约, 其中 $k_{p}$ 表示 $k$ 的完美闭包.
(iii)	对 $k$ 的任意扩域 $K$ , $X \times_{k} K$ 都既约.

(c)

如果 $X \times_{k} \overset{ˉ}{k}$ 整, 就说 $X$ 几何整. 给出一个既不几何不可约也不几何既约的整概形.

证明.

(a)

我们使用 Stacks Project 中的 Stacks Project 037K: 对于 $k$ 上的环 $R$ , 若 $S \otimes_{k} k_{p}$ 的素谱不可约, 则对任意扩域 $K / k$ , $S \otimes_{k} K$ 的素谱不可约. 也就是说 $X = Spec R$ 时命题成立.

对于任意的 $X$ , 设其可以被仿射开集 ${U_{i}}$ 覆盖, 则对任意的 $K$ , $X \times_{k} K$ 都可以被 $V_{i} = π^{- 1} (U_{i}) ≅ U_{i} \times_{k} K$ 覆盖. 且对任意 $i, j$ , 易知 $V_{i} \cap V_{j} ≅ (U_{i} \cap U_{j}) \times_{k} K$ 非空当且仅当 $U_{i} \cap U_{j}$ 非空.

而 $X \times_{k} K$ 不可约当且仅当每个 $V_{i}$ 都不可约并且 $V_{i} \cap V_{j}$ 都非空. 因此即证.

(b)

类似 (a): 我们使用 Stacks Project 030V: 对于 $k$ 上的环 $S$ , 若 $S \otimes_{k} k_{s}$ 既约, 则对任意扩域 $K / k$ , 都有 $S \otimes_{k} K$ 既约. 换言之, 当 $X$ 仿射时, 命题成立.

当 $X$ 是任意概形时, 类似于 (a), 并且此时 $X$ 既约当且仅当其可以被既约开子概形覆盖. 因此即证.

(c)

设 $k = F_{p} (x), A = F_{q} (x^{1/ p}), X = Spec A$ , 其中 $p$ 是素数, $q = p^{2}$ . 则 $A$ 是整环, 因此 $X$ 是整概形.

那么 $X \times_{k} F_{p} (x^{1/ p}) = Spec (A \otimes_{k} F_{p} (x^{1/ p}))$ , 而 $A \otimes_{k} F_{p} (x^{1/ p}) ≅ F_{q} (y, z) / (y^{p} - z^{p}) ≅ F_{q} (y, z) / ((y - z)^{p})$ 不既约, 因此 $X$ 不既约.

而

X \times_{k} F_{q} = Spec (A \otimes_{k} F_{q})

, 其中

A \otimes_{k} F_{q} ≅ (F_{q} \otimes_{k} F_{q}) (x) ≅ (F_{q} \oplus F_{q}) (x)

并非不可约, 因此

X

并不几何不可约.

$□$

习题 16 (Noether 归纳法). 设 $X$ 为 Noether 拓扑空间, 并令 $P$ 是对 $X$ 的闭集定义的性质. 假设对 $X$ 的任意闭子集 $Y$ , 若 $Y$ 的所有真闭子集都满足 $P$ , 则 $Y$ 也满足 $P$ (特别地, 空集必定满足 $P$ ). 那么 $X$ 的所有闭子集都满足 $P$ .

证明.

证明. 反证. 若不然, 则由于

X

Noether, 存在极小的不满足

P

的闭子集, 矛盾.

$□$

习题 17 (Zariski 空间). 若拓扑空间 $X$ 是 Noether 空间, 且其任意非空不可约闭集都有唯一的一般点, 则称其为 Zariski 空间.

例如说, 令 $R$ 是离散赋值环, $T = sp (Spec R)$ . 则 $T$ 包含两个点 $t_{0} =$ 极大理想, $t_{1} =$ 零理想. 其开集有 $\emptyset, {t_{1}}, T$ . 其是不可约 Zariski 空间, 具有一般点 $t_{1}$ .

(a)	证明若 $X$ 是 Noether 概形, 则 $sp (X)$ 是 Zariski 空间.
(b)	证明 Zariski 空间的每个极小的非空闭子集都是单点集. 我们将这些点称之为闭点.
(c)	证明 Zariski 空间满足 $T_{0}$ 公理: 任意两个点都可以用开集区分.
(d)	若 $X$ 是不可约 Zariski 空间, 则其一般点包含在任意非空开集中.
(e)	若 $x_{0}, x_{1}$ 是拓扑空间 $X$ 中的点, $x_{0} \in {x_{1}}^{-}$ , 就称 $x_{0}$ 是 $x_{1}$ 的特殊化, 记作 $x_{1} ⇝ x_{0}$ . 我们也说 $x_{1}$ 特殊化为 $x_{0}$ , 以及 $x_{1}$ 是 $x_{0}$ 的一般化. 现设 $X$ 是 Zariski 空间. 证明由特殊化定义的偏序 ( $x_{1} > x_{0}$ 当且仅当 $x_{1} ⇝ x_{0}$ ) 中的极小点就是 $X$ 的不可约分支的一般点. 证明闭集包含其所有点的特殊化 (即对特殊化稳定). 同理, 开集对一般化稳定.
(f)	令 $t$ 是命题 (2.6) 中定义的拓扑空间的函子.¹ 若 $X$ 是 Noether 空间, 证明 $t (X)$ 是 Zariski 空间. 进一步地, $X$ 是 Zariski 空间当且仅当 $α : X \to t (X)$ 是同胚.

1.	若 $X$ 是任意拓扑空间, 则 $t (X)$ 是 $X$ 的所有不可约闭集构成的集合, $t (X)$ 中的闭集形如 $t (Y)$ , 其中 $Y$ 是 $X$ 的闭集.

证明.

(a)	概形的不可约闭集都有一般点, 因此是 Zariski 空间.
(b)	设 $X$ 是 Zariski 空间, $Z$ 是其极小非空闭子集. 则 $Z$ 中所有点都是 $Z$ 的一般点, 因此由一般点的唯一性即知 $Z$ 是单点集.
(c)	若 $x, y$ 不能被区分, 则他们有一样的闭包, 这个闭包以这两个点为一般点, 矛盾.
(d)	平凡.
(e)	平凡.
(f)	$t$ 给出了 $X$ 的闭集到 $t (X)$ 的闭集的双射, 因此若 $X$ Noether, 则 $t (X)$ 也 Noether, 此时 $t (X)$ 按定义当然是 Zariski 空间. 若 $X$ 是 Zariski 空间, 则 $α$ 是闭的连续双射, 所以是同胚. 反过来若 $α$ 是同胚, 则 $X$ 当然是 Zariski 空间. $□$

习题 18 (可构造集). 令 $X$ 为 Zariski 空间. 记 $F$ 是包含 $X$ 的所有闭集且在有限交和取补集下封闭的最小集族. 我们将 $F$ 中的集合称为 $X$ 的可构造子集.

(a)	$X$ 中的开集与闭集的交集称为局部闭集. 证明 $X$ 的一个子集可构造当且仅当它可以写成局部闭集的有限不交并.
(b)	证明 $X$ 中的某个可构造集稠密当且仅当它包含一般点. 进一步地, 此时它一定包含某个非空开集.
(c)	$X$ 的子集 $S$ 是闭集当且仅当它可构造并且对特殊化封闭. 类似地, 子集 $T$ 是开集当且仅当它可构造并且对一般化封闭.
(d)	若 $f : X \to Y$ 是 Zariski 空间之间的连续映射, 则 $Y$ 的任意可构造子集的原像也是 $X$ 的可构造子集.

证明.

(a)	集合 $S \subseteq X$ 可以写成局部闭集的有限不交并, 当且仅当它可以写成局部闭集的有限并, 当且仅当它可以由开集和闭集做有限次交和并操作得到, 当且仅当它属于 $F$ .
(b)	若 $S \subseteq X$ 是可构造的稠密集, 由 (a), $S = ⋃_{i = 1}^{n} U_{i} \cap Z_{i}$ , 其中 $U_{i}$ 是开集, $Z_{i}$ 是闭集. 那么 $X = \overset{ˉ}{S} = ⋃_{i = 1}^{n} \overline{U_{i}} \cap Z_{i}$ . 因此存在 $i$ 使得 $\overline{U_{i}} \cap Z_{i} = X$ , 即 $Z_{i} = X$ 且 $U_{i}$ 在 $X$ 中稠密. 因此 $X$ 的一般点 $\in U_{i} \subseteq S$ . 此时 $S$ 包含非空开集 $U_{i}$ . 反过来若 $S$ 包含一般点, 则 $S$ 稠密.
(c)	设 $S$ 可构造并且对特殊化封闭. 设 $Z$ 是 $\overset{ˉ}{S}$ 中的不可约闭集. 由 (b), $S$ 包含 $Z$ 中的一般点, 因此由其对特殊化封闭即知 $Z \subseteq S$ . 所以 $\overset{ˉ}{S} \subseteq S$ , 从而 $S$ 是闭集. 反过来, 闭集当然可构造且对特殊化封闭.
(d)	平凡. 因为连续映射的原像保持闭集, 有限交和补集. $□$

习题 19. 可构造集的重要性由下述的 Chevally 定理给出: 设 $f : X \to Y$ 是 Noether 概形之间的有限型同态. 那么 $X$ 的任意构造集的像仍是构造集. 特别地, $f (X)$ 不一定是开集或者闭集, 但是一定是可构造集. 请按如下步骤证明该定理.

(a)	归约到在 $X, Y$ 都是整的 Noether 仿射概形且 $f$ 支配的情况下, 证明 $f (X)$ 本身可构造.
(b)	这种情况下, 通过如下交换代数结果证明 $f (X)$ 包含 $Y$ 的非空开子集: 若 $A \subseteq B$ 分别是 Noether 整环, 且 $B$ 是有限生成 $A$ -代数. 那么对任意 $b \neq = 0 \in B$ , 存在 $a \in A$ , 满足: 对任意将 $A$ 映射到某个代数闭域 $K$ 中的同态 $φ : A \to K$ , 只要 $φ (a) \neq = 0$ , 就可以将其延拓为 $φ^{'} : B \to K$ , 使得 $φ^{'} (b) \neq = 0$ . [提示: 通过对 $B$ 的生成元个数做归纳来证明这个代数结果. 然后使用 $b = 1$ 的情况.]
(c)	通过对 $Y$ 做 Noether 归纳来完成证明.
(d)	给出一个如下的例子: $f : X \to Y$ 是代数闭域上的代数簇之间的态射, 而 $f (X)$ 不开也不闭.

证明.

(a)	设 $S \subseteq X$ 是构造集, 不妨设 $S = ⋃ U_{i} \cap Z_{i}$ , 其中 $U_{i}$ 是开集, $Z_{i}$ 是闭集. 则只需要对每个 $i$ , 证明 $f (U_{i} \cap Z_{i})$ 可构造. 由于 $X$ Noether, $U_{i}$ 可以写作有限多个仿射开集 $V_{ij}$ 的并. 只需证明 $f (V_{ij} \cap Z_{i})$ 可构造. 而 $V_{ij} \cap Z_{i}$ 可以看作仿射概形 $V_{ij}$ 的闭子概形. 这样, 我们就归约到了 $X$ 本身是仿射概形, 且只需证明 $f (X)$ 可构造的情况. 同理也可以归约到 $X, Y$ 都仿射的情况. 再通过把 $X, Y$ 替换为 $X_{red}, Y_{red}$ 并取不可约分支, 即可假设 $X, Y$ 整.
(b)	先证明这个代数结论. 通过对 $B$ 在 $A$ 上的生成元个数归纳, 只需要考虑 $B = A [x]$ 或者 $B = A [x] / (f (x))$ 的情况, 其中 $f$ 是首一不可约多项式. 设 $b = b (x) \in A [x]$ , 而 $b (x) c (x) \equiv a (mod f (x))$ , 其中 $a \in A, c \in A [x]$ . 则此 $a$ 满足条件. 这样的 $a, c (x)$ 的存在性可以由裴属定理保证, 或者说考虑 $\frac{c}{a} = b^{- 1} \in (Frac A) [x] / (f (x))$ . 接下来设 $X = Spec B, Y = Spec A$ . 由于 $f$ 支配, 对应的映射 $A \to B$ 是单射. 取 $b = 1$ , 则存在 $a \in A$ 满足上述命题条件. 此时若 $a \in / p \subset A$ , 则 $A / p$ 可以嵌入到某个代数闭域 $K$ (其分式域的代数闭包), 因此给出了映射 $φ : A \to K$ , 且 $φ (a) \neq = 0$ . 由上述命题, 此时 $φ$ 可以延拓为 $φ^{'} : B \to K$ . 因此 $f (ker φ^{'}) \cap A = ker φ = p$ , 从而 $D (a) \subseteq f (X)$ .
(c)	由类似于 (a) 的方法, 可以将 (b) 推广为: 只要 $f : X \to Y$ 有限型, $f (X)$ 就包含一个非空开集. 我们用 Noether 归纳法证明: 对 $Y$ 中每个闭子集 $E$ , $f (X) \cap E$ 可构造. 若 $E$ 的每个真闭子集都具有此性质, 则考虑 $Z = f^{- 1} (E)$ (配备任意闭子概形结构), 则 $f (X) \supseteq f (Z)$ 包含 $E$ 中的非空开集 $U$ . 因此由归纳假设, $f (X) \cap E = U \cup (f (X) \cap (E ∖ U))$ 可构造.
(d)	由去掉原点的直线到平面的嵌入的像不开也不闭. $□$

习题 20 (维数). 令 $X$ 为域 $k$ (未必代数闭) 上的有限型整概形. 利用 (I, §1) 中的结果 ² 证明下列命题:

(a)	对于 $X$ 中的闭点 $P$ , 有 $dim X = dim O_{P}$ . 对于环, $dim$ 总是表示 Krull 维数.
(b)	令 $K (X)$ 表示 $X$ 的函数域, 证明 $dim X = tr.d. K (X) / k$ .
(c)	若 $Y$ 是 $X$ 的闭子集, 则 $codim (Y, X) = in f {dim O_{P, X} ∣ P \in Y}$ .
(d)	若 $Y$ 是 $X$ 的闭子集, 则 $dim Y + codim (Y, X) = dim X$ .
(e)	若 $U$ 是 $X$ 的非空开子集, 则 $dim U = dim X$ .
(f)	若 $k^{'} / k$ 是域扩张, 则 $X^{'} = X \times_{k} k^{'}$ 的每个不可约分支都具有和 $X$ 相同的维数.

2.	若 $B$ 是域 $B$ 上的有限生成整环, 则 $dim B = tr.d. K (B) / k$ , 且对任意素理想 $p$ 有 $height p + dim B / p = dim B$ .

证明.

(a)	首先考虑到 $dim X = sup {n ∣ V_{0} ⊊ V_{1} ⊊ \dots ⊊ V_{n}}$ , 其中 $V_{k}$ 都是 $X$ 中的不可约闭集. 取闭集的一般点即知 $dim X = sup {n ∣ P_{0} ⇝ P_{1} ⇝ \dots ⇝ P_{n}}$ . 而对于点 $P$ , 易知有 $dim O_{P} = sup {n ∣ P_{0} ⇝ P_{1} ⇝ \dots ⇝ P_{n} = P}$ . 因此 $dim X = sup_{P \in X} dim O_{P}$ . 但对 $X$ 中任意仿射开集 $Spec A$ , 有 $dim A = tr.d. Frac (A) / k = tr.d. K (X) / k$ , 且对于 $A$ 中任意极大理想 $m$ 有 $dim A_{m} = height m = dim A$ . 因此对任意闭点 $P$ , $dim X = dim O_{P} = tr.d. K (X) / k$ .
(b)	在 a 中已证.
(c)	由定义, $codim (Y, X) = in f_{V 不可约 \subseteq Y} codim (V, X)$ . 取一般点即证.
(d)	对任意点 $P$ , 设其有仿射邻域 $Spec A$ , 在 $A$ 中对应素理想 $p$ . 则由 $height p + dim A / p = dim A$ 即知 $dim (\overline{{P}} \cap A) + dim O_{P, X} = dim A = dim X$ . 由于这对任意仿射邻域成立, 即知 $dim \overline{{P}} + dim O_{P, X} = dim X$ . 再由 c 即证.
(e)	$U$ 必定包含某个仿射开集, 而仿射开集与 $X$ 具有相同维数.
(f)	由 e, 仅需考虑仿射开集情况. 此时利用 $dim A = tr.d. Frac (A) / k$ 易证. $□$

习题 21. 令 $R$ 为离散赋值环, 且包含其剩余域 $k$ . 令 $X = Spec R [t]$ 为 $Spec R$ 上的仿射直线. 证明习题 3.20 中的 (a), (d), (e) 对 $X$ 不成立.

证明.

证明. 设 $R$ 的素理想为 $(0), m = (ϖ)$ . 则 $R [t]$ 的素理想有 $(0), (f), (ϖ, g)$ . 其中 $f$ 是 $R$ 上的不可约多项式, $g$ 是 $k$ 上的不可约多项式. 因此 $dim X = dim R [t] = 2$ .

然而 $R [t]$ 中, $(tφ - 1)$ 也是极大理想 (因 $R [t] / (tφ - 1) ≅ R_{φ}$ 是域), 但其局部环维数为 $1$ . 因此 a 不成立.

取 $Y = {[(tφ - 1)]}$ , 则 d 不成立.

取

U = D (φ)

, 则

O ∣_{U} ≅ Spec F [t]

, 其中

F = Frac (R)

. 因此

dim U = 1

, e 不成立.

$□$

习题 22 (态射纤维的维数). 令 $f : X \to Y$ 为 $k$ 上有限型整概形之间的支配映射.

(a)

令 $Y^{'}$ 为 $Y$ 中的不可约闭子集, 其一般点 $η^{'}$ 属于 $f (X)$ . 令 $Z$ 为 $f^{- 1} (Y^{'})$ 的不可约分支, 且 $η^{'} \in f (Z)$ , 证明 $codim (Z, X) ⩽ codim (Y^{'}, Y)$ .

(b)

令 $e = dim X - dim Y$ 为 $X$ 在 $Y$ 上的相对维数. 对任意 $y \in f (X)$ , 证明纤维 $X_{y}$ 的不可约分支的维数不小于 $e$ . [提示: 令 $Y^{'} = {y}^{-}$ , 使用 (a) 和习题 3.20 (b).]

(c)

证明存在 $X$ 的稠密开子集 $U$ , 使得对任意 $y \in f (U)$ , 都有 $dim U_{y} = e$ . [提示: 首先规约到 $X, Y$ 都仿射的情况. 记 $X = Spec A, Y = Spec B$ , 则 $A$ 是有限生成 $B$ 代数. 取 $K (A)$ 在 $K (B)$ 上的一组超越基 $t_{1}, \dots, t_{e} \in A$ , 令 $X_{1} = Spec B [t_{1}, \dots, t_{e}]$ . 则 $X_{1}$ 同构于 $Y$ 上的 $e$ 维仿射空间, 且映射 $X \to X_{1}$ 一般有限. 使用习题 3.7.]

(d)

回到原本的映射 $f : X \to Y$ . 对任意整数 $h$ , 令 $E_{h} \subseteq X$ 为满足下述条件的点 $x$ 构成的子集: 记 $y = f (x)$ , 存在 $X_{y}$ 的包含 $x$ 的不可约分支 $Z$ , 且 $dim Z ⩾ h$ .

证明:

1.	$E_{e} = X$ (使用上面的 (b));
2.	若 $h > e$ , 则 $E_{h}$ 在 $X$ 中不稠密.
3.	对任意 $h$ , $E_{h}$ 闭 (对 $dim X$ 做归纳).

(e)

证明如下的 Chevalley 定理 (见 Cartan, Chevalley [1, exposé 8]): 对任意整数 $h$ , 令 $C_{h} = {y \in Y ∣ dim X_{y} = h}$ . 则 $C_{h}$ 可构造, 且 $C_{e}$ 包含 $Y$ 的某个稠密开子集.

证明.

(a)

按定义, $codim (Z, X) =$ 以 $Z$ 的一般点 $θ$ 结尾的最长特殊化序列长度, $codim (Y^{'}, Y)$ 同理. 而 $f$ 保持特殊化 (连续映射都保持特殊化), 且 $η^{'} \in f (Z) ⟹ f (θ) ⇝ η^{'}$ . 因此即证.

(b)

作为拓扑空间, $X_{y}$ 同胚于 $f^{- 1} (y)$ . 因此若 $Z$ 是 $X_{y}$ 的不可约分支, 则 $Z$ 同胚于 $\overline{f^{- 1} (y)}$ 的某个不可约分支 $Z^{'}$ 与 $f^{- 1} (y)$ 的交集. 又由 3.20 (e), $dim Z = dim (Z^{'} \cap f^{- 1} (y)) = dim \overline{Z^{'} \cap f^{- 1} (y)} = dim Z^{'} .$ 而由 (a) 与 3.20 (d), 取 $Y^{'} = \overline{{y}}$ 得 $dim Z^{'} = dim X - codim (Z^{'}, X) ⩾ e + dim Y - codim (Y^{'}, Y) = e + dim Y^{'} ⩾ e .$

(c)

任取 $Y$ 中仿射开集和其原像中仿射开集以替换 $Y$ 和 $X$ , 则 $f$ 仍然支配, 且只要这种情况成立, 原命题显然成立. 记 $X = Spec A, Y = Spec B$ .

此时由 3.20 (b), $e = tr.d. Frac A / k - tr.d. Frac B / k = tr.d. Frac A / Frac B$ . 按提示, 取 $t_{1}, \dots t_{e} \in A$ 使得它们是 $Frac (A)$ 在 $Frac (B)$ 上的超越基. 令 $X_{1} = Spec B [t_{1}, \dots t_{e}]$ , 则 $X_{1}$ 是 $Y$ 上的 $e$ 维仿射空间且 $g : X \to X_{1}$ 一般有限 ( $X_{1}$ 的一般点的原像恰仅包含 $X$ 的一般点). 由 3.7, 存在 $X_{1}$ 中的稠密开集 $V$ 使得 $U = g^{- 1} (V) \to V$ 有限. 那么若 $y \in f (U)$ , 则 $U_{y}$ 在 $V_{y}$ 上有限且支配; 而 $V_{y}$ 是 $Spec k (y) [t_{1}, \dots t_{e}]$ 中的稠密开集, 因此 $dim U_{y} = dim V_{y} = e$ .

(d)

由 (b), $E_{e} = X$ .

由 (c), 若 $h > e$ , 则 $E_{h} \subseteq X ∖ U$ . 因此 $E_{h}$ 不稠密.

我们对 $dim X$ 做归纳.

若 $h ⩽ e$ , 则由 (a) 已证完. 否则以 (c) 的方法取出一开集 $U \subseteq X$ , 则 $U \cap E_{h} = \emptyset$ . 由于 $X$ Noether, $X ∖ U$ 有有限个不可约分支 ${X^{j}}$ , 只需证明对其中每个不可约分支, 都有 $X^{j} \cap E_{h}$ 在 $X^{j}$ 中闭.

我们赋予 $X^{j}$ 既约诱导闭子概形结构, 记 $Y^{j} = \overline{f (X^{j})}$ , 也赋予既约诱导闭子概形结构. 那么 $X^{j}, Y^{j}$ 也是 $k$ 上有限型整概形, 且 $f ∣_{X^{j}} : X^{j} \to Y^{j}$ 支配.

设把 $X, Y$ 替换为 $X^{j}, Y^{j}$ 后定义出的 $E_{h}$ 为 $E_{h}^{j}$ , 原本的 $E_{h}$ 仍记为 $E_{h}$ . 显然有 $E_{h}^{j} \subseteq X^{j} \cap E_{h}$ .

另一方面, 若 $x \in X^{j} \cap E_{h}$ , 记 $y = f (x)$ , 则存在 $X_{y}$ 的包含 $x$ 的不可约分支 $Z$ 具有维数 $h$ . 若 $y \in / U$ , 则 $X_{y}$ 是若干个 $X_{y}^{k}$ 的并, 因此不可约分支 $Z$ 是 $X_{y}^{j}$ 的子集, 从而 $x \in E_{h}^{j}$ . 即使 $y \in U$ , 也一定有 $Z \cap U_{y} = \emptyset$ , 否则 $dim Z = dim (Z \cap U_{y}) ⩽ dim U_{y} = e$ . 接下来同上即知 $x \in E_{h}^{j}$ .

因此我们知道 $E_{h} \cap X^{j} = E_{h}^{j}$ . 由于 $dim X^{j} < dim X$ , 按归纳假设知 $E_{h} \cap X^{j}$ 闭. 因此由数学归纳法, 结论成立.

[这里没有归纳起点, 因为 $dim X = 0$ 的时候 $U = X =$ 单点集.]

(e)

由于

E_{h}

闭, 由 3.19,

C_{h} = f (E_{h}) ∖ f (E_{h + 1})

可构造. 而

Y

的一般点

\in C_{e}

, 因此

C_{e}

稠密. 由 3.18 (b),

C_{e}

包含某个稠密开集.

$□$

习题 23. 设 $V, W$ 是代数闭域 $k$ 上的概形, $V \times W$ 是其乘积 (在 I, 习题 3.15, 3.16 中定义), $t$ 是 2.6 中的函子, 则 $t (V \times W) = t (V) \times_{Spec k} t (W)$ .