Hartshorne 第二章第三节习题

2022 年 10 月 23 日 发布

这里是 Hartshorne 第二章第三节习题.

3概形的基本性质

习题 3.1. 证明概形同态 局部有限型当且仅当对 任意仿射开集 , 都可以由若干仿射开集 覆盖, 其中 都是有限生成 -代数.

证明.

证明. 充分性显然, 只需证明必要性. 首先要证明: 若 中仿射开集 满足条件, , 则 也满足条件. 这是因为对每个 , 都有 , 且 是有限生成 -代数 ( 的像). 因此满足条件的仿射开集 构成 的一组基.

再设 中任意的仿射开集. 则 可以由有限个基本开集 覆盖, 且每个 都满足条件, 即存在若干 覆盖 , 使得 是有限生成 代数. 因此它们也都是有限生成 代数, 并且覆盖 . 因此 也满足条件.

习题 3.2. 是概形同态. 若 可以由若干仿射开集 覆盖, 且其中每个 都拟紧, 就称 拟紧. 证明 拟紧当且仅当对任意仿射开集 , 都拟紧.

证明.

证明. 充分性显然, 只需证明必要性. 显然, 概形中的开集拟紧当且仅当其可以被有限个仿射开集覆盖.

满足 拟紧, 记其被 覆盖, 其中 . 则对任意 , 可以被 覆盖. 因此满足条件的开集构成基.

再设 中任意仿射开集, 则其可以有有限个基本开集 覆盖, 其中每个 拟紧. 因此 拟紧.

习题 3.3.

(a)

证明概形同态 有限型当且仅当其局部有限型且拟紧.

(b)

由此说明 有限型当且仅当对 任意仿射开集 , 都可以被有限个仿射开集 覆盖, 其中每个 都是有限生成 -代数.

(c)

证明如果 有限型, 则对 任意仿射开集 , 以及 中任意仿射开集 , 都是有限生成 -代数.

证明.

证明.

(a)

有限型, 则其当然局部有限型. 且若 中的仿射开集 使得 可以被有限个仿射开集覆盖, 则 当然拟紧. 因此 拟紧.

反之, 若 局部有限型且拟紧, 则由前两习题知: 对 中任意仿射开集 , 可以被若干仿射开集 覆盖, 每个 都是有限生成 -代数. 而 又拟紧, 从而可以被这其中有限个所覆盖. 因此 有限型.

(b)

由前两习题及 (a) 即证.

(c)

固定 . 若 满足 是有限生成 -代数, 则对任意 , 也是有限生成 -代数. 因此 中所有满足 是有限生成 -代数的仿射开集构成一组基.

现在任取 中的仿射开集 . 则存在有限个 , 它们生成 , 且每个 都是有限生成 -代数. 设 是足够大的正整数, 使得每个 都可以通过 上生成. 由于所有 生成 , 所有 也生成 . 不妨设 . 则对任意 , . 因此易知 可以由 上生成, 从而是有限生成 -代数.

习题 3.4. 证明: 概形同态 有限当且仅当对 任意仿射开集 , 都是仿射开集, 且若记 , 则 上有限.

证明.

证明. 充分性显然.

有限, , 且 是有限 -模. 记 的环同态是 , 则对任意 , 是有限 -模. 再设 是任意仿射开集, . 则由上可知存在有限个 , 它们生成 , 且每个 , 对应的 是有限 -模. 设 . 则 也生成 , 且每个 仿射. 因此由习题 2.17 即知 也仿射. 记 . 则每个 是有限 模. 接下来类似前一习题中的 (c) 易证 是有限 模.

习题 3.5. 是概形态射. 若对每个 , 都是有限集, 就称 拟有限.

(a)

证明有限态射也拟有限.

(b)

证明有限态射是闭映射, 即其将任意闭子集映射到闭子集.

(c)

给出反例以证明有限型、拟有限、闭的满概形态射不一定是有限态射.

证明.

证明.

(a)

, 取包含 的仿射开集 . 记 , 对应 中的素理想 . 则 (至少作为拓扑空间) 同胚于 , 其中 的剩余域.

作为模是有限维 -线性空间, 从而只包含有限个素理想.

(b)

在任意仿射开集上, 这就是上行性质. 由于概形被仿射开集覆盖, 命题即证.

(c)

取 “两个原点的直线” 到直线的映射即可. 显然其有限型, 拟有限, 满且闭. 但双原点的直线并不仿射, 因此这个映射并不有限.

又或者令 , 其中 . 则 有限型, 拟有限, 满且闭. 然而其不有限.

习题 3.6. 是整概形. 证明一般点 处的局部环 是域. 其被称作 函数域, 记作 . 证明如果 的任意仿射开集, 则 同构于 的分式域.

证明.
证明. 是任意仿射开集, 则 , 且 也是 的一般点. 因此 对应 中的零理想, 从而 同构于 的分式域.

习题 3.7. 是概形同态, 不可约, 如果对 的一般点 , 是有限集, 就称 一般有限. 如果概形同态 的像集 中稠密, 就称 支配. 现设 是整概形之间的支配、一般有限、有限型同态. 证明存在稠密开集 使得诱导映射 有限 [提示: 先证明 的函数域是 的函数域的有限扩张].

证明.

证明. 分别是 的一般点, 分别为 的函数域. 任取 中的仿射开集 , 以及 中的仿射开集 . 由于 支配且 不可约, 中稠密, 因此 非零. 又因为 有限型、一般有限, 上有限生成, 且仅包含有限个素理想 (与 一一对应).

由 Noether 正规化定理, 存在 的子环 使得 上整. 那么由上述一般有限性即知 , 从而 上整 (因此有限), 所以其分式域 的有限扩张.

更进一步地, 设 可以由有限个仿射开集 覆盖, 设 作为 -代数可以由 生成. 由于它们在 上整, 即满足 系数首一多项式. 令 为这些多项式系数的分母的乘积, 则 上整; 因此 上整.

代替 , 用 代替 , 则问题归约为: 若 是整概形同态, , 且 可以被有限个仿射开集 , 其中每个 都是有限 -模, 就存在稠密开集 使得 有限.

. 对每个 , 设 . 由于 上整, 存在 . 设 , 显然 . 且由于 , 即知 仿射, 且 有限. 由于 不可约, 是开集, 从而稠密.

习题 3.8 (正规化). 若一概形的所有局部环都整闭, 就称其正规. 令 为整概形. 对每个仿射开集 , 设 在其分式域中的整闭包, 令 . 证明这些 可以粘接成一个正规概形 , 称为 正规化. 再证明存在同态 满足如下泛性质: 对任意正规概形 和同态 , 都唯一地穿过 . 若 在域 上有限型, 则同态 有限. 这推广了第一章习题 3.17.

证明.

证明. 仿照构造纤维积的办法, 可以如下证明:

第一步, 若 , 则 配备自然的同态 必定满足上述泛性质. 这可以由习题 2.4 自然得到.

第二步, 若 满足泛性质, 的开子概形, 则 上的限制 也满足泛性质. 若 正规, , 则复合嵌入映射得到 . 由泛性质, 唯一地穿过 ; 显然其像集必定包含在 中.

第三步, 若 都是 中的仿射开集, 则 中的原像都具有上述泛性质, 因此可以自然地等同. 这样就给出了将所有 粘接为 的办法. 且每个同态 也可粘接成 , 不难验证其满足泛性质.

接下来设 上有限型. 则 可以由有限个仿射开集 覆盖, 且每个 都是有限生成 -代数; 因此 上有限. 所以 有限.

习题 3.9. 回忆在代数簇范畴中, 两个代数簇的乘积的 Zariski 拓扑并不是乘积拓扑 (第一章习题 1.4). 我们将会看到, 在概形范畴中, 乘积概形的底集合甚至都不是乘积集合.

(a)

是域, 上的仿射直线. 证明 , 并证明其底集合并不是两个因子的底集合的乘积 (即使 代数闭也一样).

(b)

是域, 是不定元, 则 都是单点空间.

描述 .

证明.

证明.

(a)

由定义, . 其中任意显含两个变量的不可约多项式生成的素理想 (如 ) 都不属于两个因子底集合的乘积.

(b)

都是域, 因此其谱当然是单点空间.

然而 . 而 , 其中 . 其素理想为 以及 , 其中 是同时显含 的不可约多项式. (hmm... 去掉所有闭点以及平行于坐标轴直线的平面?)

习题 3.10 (同态的纤维).

(a)

是同态, , 证明 同胚于装备子空间拓扑的 .

(b)

, , 是由 决定的同态. 若 对应的点且 , 证明纤维 恰好包含两个点, 剩余域都是 . 若 对应 , 则 是非既约的单点概形. 若 是一般点, 则 是单点概形, 其剩余域是 处剩余域的二次扩张 (假设 代数闭).

证明.

证明.

(a)

记同态 , 任取 中包含 的仿射开集 . 只需证明: 对 中任意仿射开集 , 在底空间上诱导了 的同胚. 而这种情况下, 设 , 对应 中的素理想 , 则因此显然.

(b)

对应 , 则其包含 两个素理想.

对应 , 则同理, 是非既约的单点概形.

是一般点, 则 , 而 处的剩余域 的二次扩张.

习题 3.11 (闭子概形).

(a)

闭浸入在基扩张下不变: 即若 是闭浸入, 是任意同态, 则 也是闭浸入.

(b)

是仿射概形 的闭子概形, 则 仿射; 事实上 一定是某个闭浸入 的像, 是合适的理想. [提示: 先证明 可以被有限个形如 的仿射开集覆盖, 其中 . 通过添加一些 , 可以假设这些 覆盖 . 接下来证明 生成 , 因此由习题 2.17b 证明 仿射, 然后用习题 2.18d 证明 可以由某个理想 得来.]

(c)

的闭子集, 并为其装备既约诱导闭子集概形结构. 若 中此闭子集上的另一个闭子概形, 证明闭浸入 穿过 . 我们可以将此性质表达为: 既约诱导闭子概形结构是闭子集上最小的闭子概形结构.

(d)

是概形同态. 则 中存在唯一的闭子概形 使得: 穿过 ; 且若 也穿过另一个闭子概形 , 则 也穿过 . 我们将 称为 概形论像. 若 既约, 证明 就是 的闭包上的既约诱导闭子概形.

证明.

证明. 我们先证明 (b).

(b)

可以由仿射开集 覆盖, 而 , 其中 是基本开集 . 则对每个 , 也仿射. 并且由于 中的闭集, 因此也拟紧, 从而可以选出有限个 覆盖 , 设为 .

通过添加一些 , 不妨设这些 覆盖了 ; 即 生成了 . 设 诱导的整体截面上的映射, 则 生成了 . 且 均仿射. 因此由习题 2.17b 即知 是仿射概形. 再由习题 2.18d 即知 .

(a)

都是仿射概形, 设为 (由习题 2.18d, 一定形如 ). 则 是闭浸入.

进一步地, 设 仍然仿射, 为任意概形. 设 可以由若干仿射开集 覆盖. 则对每个 , 是闭浸入. 因此 中的像是闭集. 且由于层上的映射 在每个开集上都是满射, 因此整体上也是满射. 因此 也是闭浸入.

未必仿射, 则设 可以由仿射开集 覆盖. 设 中的原像分别是 . 显然, 也仍然是闭浸入, 因此由 (b) 即知 仿射. 由上述论证, 每个 都是闭浸入, 即 是闭浸入. 类似于上述推理即知 也是闭浸入.

(c)

由于可以将映射做粘接, 只需考虑 仿射的情况. 设 . 由 (b) 可知 也仿射, 设为 , 则 , 因此 穿过 .

(d)

仿射, 则可以定义 , 并定义 , 显然其满足泛性质. 此时, 在底空间上就是 的闭包. 且若 既约, 则 也既约, 因此此时 就是既约诱导闭子概形. 若 任意, 则对每个仿射开集定义 之后粘接起来即可.

习题 3.12 ( 的闭子概形).

(a)

是分次环之间保持次数的满射. 证明习题 2.14 中的开集 就等于 , 且同态 是闭浸入.

(b)

是齐次理想, , 令 为由 定义的 的闭子概形. 证明不同的齐次理想可以给出相同的闭子概形. 例如说, 设 为整数, , 则 决定相同的闭子概形.

我们之后将会看到 的任意闭子概形 (至少在 上的多项式环的时候) 都可以从 某个齐次理想得来.

证明.

证明.

(a)

回忆 . 若 是满射, 则 也是满射. 因此 必然是全空间 .

记同态 , 则 在茎上的映射是 都是满射. 因此 是满射. 而 中的闭集. 因此 是闭浸入.

(b)

, 则 的映射在不小于 的次数上都是同构. 因此由习题 2.14c 即知 同构.

习题 3.13 (有限型同态的性质).

(a)

闭浸入有限型.

(b)

拟紧的开浸入 (习题 3.2) 有限型.

(c)

有限型同态的复合有限型.

(d)

有限型同态的基扩张仍然有限型.

(e)

都在 上有限型, 则 也在 上有限型.

(f)

是概形同态, 拟紧, 有限型, 则 也有限型.

(g)

有限型, Noether, 则 也 Noether.

证明.

证明.

(a)

是闭浸入, 由习题 3.11 即知对 中任意仿射开集 , 其原像都形如 . 因此 有限型 (甚至有限).

(b)

是开浸入, 则对 中任意仿射开集 , 可以由 的若干个仿射开集覆盖, 因此局部有限型. 若 拟紧, 则其有限型.

(c)

显然.

(d)

有限型, . 若 仿射, 则对 中任意仿射开集 , 其在 中的原像是 . 因此若 可以由有限个仿射开集 覆盖, 每个 都是有限生成 -代数, 则对应地, 也可以由 覆盖, 且 是有限生成 -代数. 因此 有限型.

一般情况下, 设 可以由若干个仿射开集 覆盖. 记 中的原像, 则 可以由 粘接而成. 而每个 上有限型, 因此 上有限型.

(e)

中的仿射开集. 设其在 中的原像分别是 , 则其在 中的原像就是 . 因此若 分别有若干个在 上有限型的环对应的仿射开集覆盖, 则 就由这些环的张量积对应的仿射开集覆盖, 从而 上有限型.

(f)

中任意仿射开集 , 若 分别是 中的仿射开集, 则由 有限型即知 上有限生成. 而 穿过 , 因此 上有限生成. 而 中满足这样条件的 可以覆盖 , 因此 局部有限型. 又拟紧, 从而有限型.

(g)

可以由有限个仿射开集 覆盖, 其中每个 Noether, 则由于 有限型, 每个 又可以由有限个仿射开集 覆盖, 其中 上有限生成. 由 Hilbert 基定理, Noether. 因此 Noether.

习题 3.14. 是域上的有限型概形, 证明 的闭点稠密. 给出反例说明这个结论对一般的概形并不成立.

证明.

证明. 我们断言: 若 是域 上的有限型概形, 则点 是闭点当且仅当其剩余域是 的有限扩张.

事实上, 若 的有限扩张, 则对 中任意包含 的仿射开集 , 若 对应 , 则 的分式域同构于 . 但 又是 -同态, 因此 上有限, 从而必定是域. 也就是说, 的任意仿射子集中闭, 从而在 中闭.

反之, 若 是闭点, 则任取包含 的仿射开集 , 设 对应 , 则由 Hilbert 零点定理即知 的有限扩张.

因此, 若 是域 上的有限型概形, 由于每个仿射开集中有 (相对的) 闭点, 而由上述断言可知若 在某个开集中闭, 就一定是闭点; 因此 中的闭点稠密.

若去除 的有限型条件, 则任取离散赋值环 , 那么 即不满足条件 (因为存在非幂零但属于所有极大理想的元素).

习题 3.15. 为域 (不一定代数闭) 上有限型概形.

(a)

证明以下三个条件等价 (若它们成立, 则称 几何不可约):

(i)

不可约, 其中 表示 的代数闭包.

(ii)

不可约, 其中 表示 的可分闭包.

(iii)

的任意扩域 , 都不可约.

(b)

证明以下三个条件等价 (若它们成立, 则称 几何既约):

(i)

既约, 其中 表示 的代数闭包.

(ii)

既约, 其中 表示 的完美闭包.

(iii)

的任意扩域 , 都既约.

(c)

如果 整, 就说 几何整. 给出一个既不几何不可约也不几何既约的整概形.

证明.

证明.

(a)

我们使用 Stacks 项目中的 Stacks 引理 037K: 对于 上的环 , 若 的素谱不可约, 则对任意扩域 , 的素谱不可约. 也就是说 时命题成立.

对于任意的 , 设其可以被仿射开集 覆盖, 则对任意的 , 都可以被 覆盖. 且对任意 , 易知 非空当且仅当 非空.

不可约当且仅当每个 都不可约并且 都非空. 因此即证.

(b)

类似 (a): 我们使用 Stacks 引理 030V: 对于 上的环 , 若 既约, 则对任意扩域 , 都有 既约. 换言之, 当 仿射时, 命题成立.

是任意概形时, 类似于 (a), 并且此时 既约当且仅当其可以被既约开子概形覆盖. 因此即证.

(c)

, 其中 是素数, . 则 是整环, 因此 是整概形.

那么 , 而不既约, 因此 不既约.

, 其中 并非不可约, 因此 并不几何不可约.

习题 3.16 (Noether 归纳法). 为 Noether 拓扑空间, 并令 是对 的闭集定义的性质. 假设对 的任意闭子集 , 若 的所有真闭子集都满足 , 则 也满足 (特别地, 空集必定满足 ). 那么 的所有闭子集都满足 .

证明.
证明. 反证. 若不然, 则由于 Noether, 存在极小的不满足 的闭子集, 矛盾.

习题 3.17 (Zariski 空间). 若拓扑空间 是 Noether 空间, 且其任意非空不可约闭集都有唯一的一般点, 则称其为 Zariski 空间.

例如说, 令 是离散赋值环, . 则 包含两个点 极大理想, 零理想. 其开集有 . 其是不可约 Zariski 空间, 具有一般点 .

(a)

证明若 是 Noether 概形, 则 是 Zariski 空间.

(b)

证明 Zariski 空间的每个极小的非空闭子集都是单点集. 我们将这些点称之为闭点.

(c)

证明 Zariski 空间满足 公理: 任意两个点都可以用开集区分.

(d)

是不可约 Zariski 空间, 则其一般点包含在任意非空开集中.

(e)

是拓扑空间 中的点, , 就称 特殊化, 记作 . 我们也说 特殊化为 , 以及 一般化. 现设 是 Zariski 空间. 证明由特殊化定义的偏序 ( 当且仅当 ) 中的极小点就是 的不可约分支的一般点. 证明闭集包含其所有点的特殊化 (即对特殊化稳定). 同理, 开集对一般化稳定.

(f)

是命题 (2.6) 中定义的拓扑空间的函子.1 是 Noether 空间, 证明 是 Zariski 空间. 进一步地, 是 Zariski 空间当且仅当 是同胚.

证明.

证明.

(a)

概形的不可约闭集都有一般点, 因此是 Zariski 空间.

(b)

是 Zariski 空间, 是其极小非空闭子集. 则 中所有点都是 的一般点, 因此由一般点的唯一性即知 是单点集.

(c)

不能被区分, 则他们有一样的闭包, 这个闭包以这两个点为一般点, 矛盾.

(d)

平凡.

(e)

平凡.

(f)

给出了 的闭集到 的闭集的双射, 因此若 Noether, 则 也 Noether, 此时 按定义当然是 Zariski 空间.

是 Zariski 空间, 则 是闭的连续双射, 所以是同胚. 反过来若 是同胚, 则 当然是 Zariski 空间.

1.

是任意拓扑空间, 则 的所有不可约闭集构成的集合, 中的闭集形如 , 其中 的闭集.

习题 3.18 (可构造集). 为 Zariski 空间. 记 是包含 的所有闭集且在有限交和取补集下封闭的最小集族. 我们将 中的集合称为 可构造子集.

(a)

中的开集与闭集的交集称为局部闭集. 证明 的一个子集可构造当且仅当它可以写成局部闭集的有限不交并.

(b)

证明 中的某个可构造集稠密当且仅当它包含一般点. 进一步地, 此时它一定包含某个非空开集.

(c)

的子集 是闭集当且仅当它可构造并且对特殊化封闭. 类似地, 子集 是开集当且仅当它可构造并且对一般化封闭.

(d)

是 Zariski 空间之间的连续映射, 则 的任意可构造子集的原像也是 的可构造子集.

证明.

证明.

(a)

集合 可以写成局部闭集的有限不交并, 当且仅当它可以写成局部闭集的有限并, 当且仅当它可以由开集和闭集做有限次交和并操作得到, 当且仅当它属于 .

(b)

是可构造的稠密集, 由 (a), , 其中 是开集, 是闭集. 那么 . 因此存在 使得 , 即 中稠密. 因此 的一般点 . 此时 包含非空开集 .

反过来若 包含一般点, 则 稠密.

(c)

可构造并且对特殊化封闭. 设 中的不可约闭集. 由 (b), 包含 中的一般点, 因此由其对特殊化封闭即知 . 所以 , 从而 是闭集.

反过来, 闭集当然可构造且对特殊化封闭.

(d)

平凡. 因为连续映射的原像保持闭集, 有限交和补集.

习题 3.19. 可构造集的重要性由下述的 Chevally 定理给出: 设 是 Noether 概形之间的有限型同态. 那么 的任意构造集的像仍是构造集. 特别地, 不一定是开集或者闭集, 但是一定是可构造集. 请按如下步骤证明该定理.

(a)

归约到在 都是整的 Noether 仿射概形且 支配的情况下, 证明 本身可构造.

(b)

这种情况下, 通过如下交换代数结果证明 包含 的非空开子集:

分别是 Noether 整环, 且 是有限生成 -代数. 那么对任意 , 存在 , 满足: 对任意将 映射到某个代数闭域 中的同态 , 只要 , 就可以将其延拓为 , 使得 . [提示: 通过对 的生成元个数做归纳来证明这个代数结果. 然后使用 的情况.]

(c)

通过对 做 Noether 归纳来完成证明.

(d)

给出一个如下的例子: 是代数闭域上的代数簇之间的态射, 而 不开也不闭.

证明.

证明.

(a)

是构造集, 不妨设 , 其中 是开集, 是闭集. 则只需要对每个 , 证明 可构造. 由于 Noether, 可以写作有限多个仿射开集 的并. 只需证明 可构造. 而 可以看作仿射概形 的闭子概形.

这样, 我们就归约到了 本身是仿射概形, 且只需证明 可构造的情况. 同理也可以归约到 都仿射的情况. 再通过把 替换为 并取不可约分支, 即可假设 整.

(b)

先证明这个代数结论. 通过对 上的生成元个数归纳, 只需要考虑 或者 的情况, 其中 是首一不可约多项式. 设 , 而 , 其中 . 则此 满足条件. 这样的 的存在性可以由裴属定理保证, 或者说考虑 .

接下来设 . 由于 支配, 对应的映射 是单射. 取 , 则存在 满足上述命题条件. 此时若 , 则 可以嵌入到某个代数闭域 (其分式域的代数闭包), 因此给出了映射 , 且 . 由上述命题, 此时 可以延拓为 . 因此 , 从而 .

(c)

由类似于 (a) 的方法, 可以将 (b) 推广为: 只要 有限型, 就包含一个非空开集.

我们用 Noether 归纳法证明: 对 中每个闭子集 , 可构造. 若 的每个真闭子集都具有此性质, 则考虑 (配备任意闭子概形结构), 则 包含 中的非空开集 . 因此由归纳假设, 可构造.

(d)

由去掉原点的直线到平面的嵌入的像不开也不闭.

习题 3.20 (维数). 为域 (未必代数闭) 上的有限型整概形. 利用 (I, §1) 中的结果 2 证明下列命题:

(a)

对于 中的闭点 , 有 . 对于环, 总是表示 Krull 维数.

(b)

表示 的函数域, 证明 .

(c)

的闭子集, 则 .

(d)

的闭子集, 则 .

(e)

的非空开子集, 则 .

(f)

是域扩张, 则 的每个不可约分支都具有和 相同的维数.

证明.

证明.

(a)

首先考虑到 , 其中 都是 中的不可约闭集. 取闭集的一般点即知 . 而对于点 , 易知有 . 因此 . 但对 中任意仿射开集 , 有 , 且对于 中任意极大理想 . 因此对任意闭点 , .

(b)

在 a 中已证.

(c)

由定义, . 取一般点即证.

(d)

对任意点 , 设其有仿射邻域 , 在 中对应素理想 . 则由 即知 . 由于这对任意仿射邻域成立, 即知 . 再由 c 即证.

(e)

必定包含某个仿射开集, 而仿射开集与 具有相同维数.

(f)

由 e, 仅需考虑仿射开集情况. 此时利用 易证.

2.

是域 上的有限生成整环, 则 , 且对任意素理想 .

习题 3.21. 为离散赋值环, 且包含其剩余域 . 令 上的仿射直线. 证明习题 3.20 中的 (a), (d), (e) 对 不成立.

证明.

证明. 的素理想为 . 则 的素理想有 . 其中 上的不可约多项式, 上的不可约多项式. 因此 .

然而 中, 也是极大理想 (因 是域), 但其局部环维数为 . 因此 a 不成立.

, 则 d 不成立.

, 则 , 其中 . 因此 , e 不成立.

习题 3.22 (态射纤维的维数). 上有限型整概形之间的支配映射.

(a)

中的不可约闭子集, 其一般点 属于 . 令 的不可约分支, 且 , 证明 .

(b)

上的相对维数. 对任意 , 证明纤维 的不可约分支的维数不小于 . [提示: 令 , 使用 (a) 和习题 3.20 (b).]

(c)

证明存在 的稠密开子集 , 使得对任意 , 都有 . [提示: 首先规约到 都仿射的情况. 记 , 则 是有限生成 代数. 取 上的一组超越基 , 令 . 则 同构于 上的 维仿射空间, 且映射 一般有限. 使用习题 3.7.]

(d)

回到原本的映射 . 对任意整数 , 令 为满足下述条件的点 构成的子集: 记 , 存在 的包含 的不可约分支 , 且 .

证明:

1.

(使用上面的 (b));

2.

, 则 中不稠密.

3.

对任意 , 闭 (对 做归纳).

(e)

证明如下的 Chevalley 定理 (见 Cartan, Chevalley [1, exposé 8]): 对任意整数 , 令 . 则 可构造, 且 包含 的某个稠密开子集.

证明.

证明.

(a)

按定义, 的一般点 结尾的最长特殊化序列长度, 同理. 而 保持特殊化 (连续映射都保持特殊化), 且 . 因此即证.

(b)

作为拓扑空间, 同胚于 . 因此若 的不可约分支, 则 同胚于 的某个不可约分支 的交集. 又由 3.20 (e), 而由 (a) 与 3.20 (d), 取

(c)

任取 中仿射开集和其原像中仿射开集以替换 , 则 仍然支配, 且只要这种情况成立, 原命题显然成立. 记 .

此时由 3.20 (b), . 按提示, 取 使得它们是 上的超越基. 令 , 则 上的 维仿射空间且 一般有限 ( 的一般点的原像恰仅包含 的一般点). 由 3.7, 存在 中的稠密开集 使得 有限. 那么若 , 则 上有限且支配; 而 中的稠密开集, 因此 .

(d)

1.

由 (b), .

2.

由 (c), 若 , 则 . 因此 不稠密.

3.

我们对 做归纳.

, 则由 (a) 已证完. 否则以 (c) 的方法取出一开集 , 则 . 由于 Noether, 有有限个不可约分支 , 只需证明对其中每个不可约分支, 都有 中闭.

我们赋予 既约诱导闭子概形结构, 记 , 也赋予既约诱导闭子概形结构. 那么 也是 上有限型整概形, 且 支配.

设把 替换为 后定义出的 , 原本的 仍记为 . 显然有 .

另一方面, 若 , 记 , 则存在 的包含 的不可约分支 具有维数 . 若 , 则 是若干个 的并, 因此不可约分支 的子集, 从而 . 即使 , 也一定有 , 否则 . 接下来同上即知 .

因此我们知道 . 由于 , 按归纳假设知 闭. 因此由数学归纳法, 结论成立.

[这里没有归纳起点, 因为 的时候 单点集.]

(e)

由于 闭, 由 3.19, 可构造. 而 的一般点 , 因此 稠密. 由 3.18 (b), 包含某个稠密开集.

习题 3.23. 是代数闭域 上的概形, 是其乘积 (在 I, 习题 3.15, 3.16 中定义), 是 2.6 中的函子, 则 .