Hartshorne 第二章第二节习题

2022 年 08 月 22 日 发布

这里是 Hartshorne 第二章第二节习题.

目录

2概形

习题 2.1. 是环, , , 的开补集. 证明 同构于 .

证明.
证明. 构造同构映射 如下. 若 , 则 , 从而 . 定义 , 则 作为集合的映射是双射. 此外, 还有自然的同构 , 因此容易定义并验证同构 .

习题 2.2. 是概形, 是开集. 证明 是概形. 我们将其称之为开集 上的诱导概形结构, 并将 称为 开子概形.

证明.
证明. 注意到任意仿射概形中存在一组由同构于仿射概形的开集构成的基, 即 . 因此仿射性是局部性质. 从而概形的开子集仍然局部仿射, 因此也是概形.

习题 2.3. 是概形. 如果对任意开集 , 中都没有幂零元素, 就说 既约.

(a)

证明: 既约当且仅当对任意 , 局部环 里都没有幂零元素.

(b)

为概形. 令 为预层 , 其中, 对任意环 , 表示 商掉幂零元的理想构成的商环. 证明 是概形. 我们称之为 既约化概形, 记作 . 证明存在同态 , 其限制在底空间上是同胚.

(c)

是概形同态, 且 既约. 证明 穿过 .

证明.

证明.

(a)

是开集, 幂零, 则对任意 , 幂零. 因此若 中都无幂零元素, 即知 , 因此 . 充分性即证. 反之, 若 既约, 则对任意 , 是既约环的直极限, 因此也既约.

(b)

只需注意到 , 因此 . 的映射容易构造, 即在每个截面上对应商同态.

(c)

既约, 则同态 必定将幂零元映射到 , 因此穿过 . 从而易知 穿过 .

习题 2.4. 是环, 是概形. 任意给定 , 考虑整体截面上的映射, 就得到环同态 . 因此存在自然映射证明 是双射.

证明.

证明., 定义映射 如下. 对于 , 考虑复合映射 , 则 的极大理想的原像也是 中的素理想, 即为 . 由定义, 自然有映射 . 因此容易定义概形同态 .

若记以上构造为自然映射 , 不难验证 互为逆映射. 从而 必定是双射.

习题 2.5. 描述 , 并证明它是概形范畴中的终对象.

证明.

证明. 的底空间是以所有素数为点的有限补空间. 对一个开集 , 设 不包含的素数为 , 则 是所有分母仅有 这些素因子的有理数构成的环.

由习题 2.4 即知 是概形范畴的终对象, 因为 是环范畴的始对象.

习题 2.6. 描述零环的谱, 并证明它是概形范畴的始对象.

证明.
证明. 零环的谱是空集. 显然是始对象.

习题 2.7. 是概形. 对任意 , 设 处的局部环, 是其极大理想. 定义 处的剩余域. 设 是域. 证明要给出 的同态, 等价于给出点 及域嵌入 .

证明.
证明. 是单点空间, 因此由定义立证.

习题 2.8. 是概形. 对 , 定义 处的 Zariski 切空间 -向量空间 的对偶空间. 假设 是域 上的概形, 上的对偶数环. 证明要给出从 的同态, 等价于给出一个 -有理点 (即 ) 和 的一个元素.

证明.
证明. 也是单点空间. 因此由定义易证.

习题 2.9. 是拓扑空间, 是其不可约闭子集. 一般点就是闭包等于 的点. 若 是概形, 证明每个 (非空) 不可约闭子集都有唯一的一般点.

证明.

证明. 在一般情况下, 对任意与 相交的仿射开子集 , 由上述推导即知存在唯一的 使得 . 若 是两个这样的开集, 则由不可约性质知 非空. 取仿射开集 使得 非空. 由上述推导, 也同时属于 , 并且是 的唯一一般点. 因此所有 全部相等, 也就是 的一般点.

是仿射概形, 则其非空不可约闭子集必定形如 , 从而有唯一的一般点 . 进一步地, 若 是与 相交的仿射开集, 则 , 因此 也是 的一般点.

习题 2.10. 描述 . 其底空间与 这个集合有何区别? 与 呢?

证明.

证明. 中有一般点 , 还有若干闭点; 闭点与 中的不可约多项式一一对应: 即对每个 , 有闭点 ; 对任意 , 有闭点 . 截面则与习题 2.5 类似.

其底空间比集合 多出一般点以及二次多项式对应的闭点. 而与 相比, 每个复数都与其复共轭等同起来了 (此外当然也多出了一般点).

习题 2.11. 元有限域, 描述 . 其点处的剩余域是什么? 给定一个域, 中有多少以其为剩余域的点?

证明.

证明. 的点有一个一般点 , 以及若干闭点, 与首一不可约多项式一一对应. 处的剩余域是分式域 . 若 是不可约多项式, 则 处的多项式是 , 其中 .

若给定 的有限扩域 , 则以其为剩余域的点的个数即为 次首一不可约多项式的个数, 由 Gauss 公式即为

习题 2.12 (粘接引理). 结论很有用, 但是证明平凡. 不写了!

习题 2.13. 若拓扑空间 的任意开覆盖都有子覆盖, 就称 拟紧 (其实就是一般情况下提及的紧).

(a)

证明: 拓扑空间 Noether 当且仅当其任意开子集拟紧.

(b)

是仿射概形, 证明 拟紧, 但是一般并不 Noether. 如果 Noether, 就说 Noether.

(c)

是 Noether 环, 证明 是 Noether 空间.

(d)

给出上一条的逆命题的一个反例, 即 是 Noether 空间, 但 不 Noether.

证明.

证明.

(a)

由定义平凡.

(b)

, 不妨设每个 都是基本开集 . 那么作为理想, , 即存在有限个 可以生成 . 因此对应的有限个 覆盖 , 从而覆盖 .

(c)

是 Noether 环, 则其理想满足升链条件, 对应在 中就说明其闭集满足降链条件. 因此 是 Noether 空间, 作为其子空间也是 Noether 空间.

(d)

. 记 , 则 , 且 中元素都幂零. 因此 只有 一个素理想, 从而 Noether. 但是 显然不 Noether.

习题 2.14.

(a)

是分次环. 证明 当且仅当 中仅包含幂零元素.

(b)

是分次环的分次同态 (即保持次数的同态). 令 . 证明 的开子集, 且 决定了一个自然同态 .

(c)

即使 不是同构, 也可能是. 比如说, 设 的情况下都是同构, 其中 是非负整数. 证明 并且 是同构.

(d)

是射影簇, 其分次坐标环是 . 证明 .

证明.

证明.

(a)

中不仅包含幂零元素, 则考虑不包含某个非幂零元素及其幂的极大真齐次理想, 不难证明其是齐次素理想.

反之, 设 中仅包含幂零元素, 则若 是齐次素理想, 则 . 因此一切齐次素理想都包含 , 从而 .

(b)

当然是 中的开集. 若 , 可以定义 . 而 可以由 诱导的局部环同态 定义.

(c)

的情况下都是同构, 则 中次数大于 的齐次元素都是幂零元. 因此易知 .

为证明 是同构, 只需证明 诱导的局部环同态 都是同构. 取元素验证其既单又满即可.

(d)

不会.

习题 2.15. 不会代数簇, 不写了.

习题 2.16. 是概形, , 定义其中 处的茎, 的极大理想.

(a)

中的仿射开集, 的限制, 证明 . 由此说明 是开集.

(b)

假设 拟紧. 令 , 限制在 上消失. 证明存在 , 使得 [提示: 用仿射开集覆盖 ].

(c)

现在假设 可以由有限个仿射开集 覆盖, 且交集 全都拟紧 (比如说, 是 Noether 空间时即满足此条件). 令 . 证明对某个 , 中元素的限制.

(d)

沿用 (c) 中的假设, 证明 .

证明.

证明.

(a)

, 则 . 因此显然.

(b)

先设 是仿射开集. 则 . 因此 限制在 上消失等价于存在 使得 .

在一般情况下, 由于 可以由仿射开集覆盖, 而其拟紧, 从而其可以由有限个仿射开集覆盖, 设为 , 其中 . 记 上的限制为 . 由上述推导, 对每个 , 存在 使得 . 取 中的最大值, 则由层的唯一性公理即知 .

(c)

先设 是仿射开集, 则 , 从而存在 使得 中元素的限制.

一般情况下, 同 (b), 设 可以由 覆盖, . 同理定义 . 则存在 , 使得每个 的限制. 此时对每一对 , 上的限制为 . 因此由 (b), 存在 使得 上限制为 . 取 的最大值, 则 彼此兼容, 从而可以粘贴成 , 其在 上的限制即是 .

(d)

显然 上可逆. 从而由 (b) (c) 易证.

习题 2.17 (仿射性的判别条件).

(a)

是概形同态, 且 可以由若干开集 覆盖, 使得每个限制映射 是同构. 证明 也是同构.

(b)

概形 仿射当且仅当存在有限个元素 , 使得每个开集 都仿射, 且 [提示: 使用前面的习题 2.4 和习题 2.16d].

证明.

证明.

(a)

容易知道 在底空间上是同胚. 且 在茎上都是同构, 从而 是同构.

(b)

由习题 2.16d 知道 . 用习题 2.4 的方法构造映射 . 不难发现 映射到 , 且映射 是同构. 因此再由习题 2.4 就知道 即是同构 . 由 即知 覆盖 . 因此由 (a) 即证.

习题 2.18.

(a)

是环, . 证明 幂零当且仅当 为空.

(b)

是环同态, 是诱导的仿射概形同态. 证明 是单射当且仅当对应的层映射 是单射. 更进一步地, 证明这种情况下 支配的, 即 中稠密.

(c)

在同样的假设下, 证明: 若 是满射, 则 同胚到 的闭子集, 且 是满射.

(d)

证明 (c) 的逆命题, 即如果 同胚到 的闭子集, 且 是满射, 则 是满射 [提示: 考虑 , 并使用 (b) 和 (c)].

证明.

证明.

(a)

平凡.

(b)

是单射, 则 是单射, 即 是单射.

反之, 若 是单射, 则对任意 , 也是单射; 即 是单射. 若 是开集, , 则 限制在每个 上为 . 由于 构成一组基, 由层的唯一性公理即知 . 因此 是单射.

并且若 是单射, 则对任意 , 不幂零, 也不幂零. 因此 环, 即 . 因此 与所有开集相交非空, 即稠密.

(c)

是满射, 则 , 从而 的素理想通过 中所有包含 的素理想一一对应. 因此 同胚到 . 且类似 (b), 若 , 则 是满射. 从而 在一组开集基上的映射都为满射, 因此 是满射 (因为茎上的映射都是满射).

(d)

定义 , 则 分解为 . 因此 也分解为 . 由于 是单射, 中稠密. 然而 (拓扑上) 可以看作 的子空间, 从而 的闭集, 因此 .

是满射, 因此由 是单射即知 是满射. 而 又是单射, 因此是同构. 也是同胚, 所以 , 因此 , 即 是满射.

习题 2.19. 是环, 证明下列条件彼此等价:

1)

不连通.

2)

存在非零元素 使得 (这样的元素称为正交幂等元).

3)

同构于两个非零环的直积.

证明.

证明. 若 (2) 成立, 则 , 因此 (1) 成立.

若 (3) 成立, 则两个直积因子中的单位元即是正交幂等元, 从而 (2) 成立.

若 (1) 成立, 记 . 设 , 其中 是根理想. 则 . 因此 . 从而 (3) 成立.