Hartshorne 第二章第二节习题

2022 年 08 月 22 日发布.

这里是 Hartshorne 第二章第二节习题.

2概形

习题 1. 设 $A$ 是环, $X = Spec A$ , $f \in A$ , $D (f) \subseteq X$ 为 $V ((f))$ 的开补集. 证明 $(D (f), O_{X} ∣_{D (f)})$ 同构于 $Spec A_{f}$ .

证明.

证明. 构造同构映射

ϕ : D (f) \to Spec X

如下. 若

p \in D (f)

, 则

f \in / p

, 从而

p_{f} \subseteq A_{f}

. 定义

ϕ (p) = p_{f}

, 则

ϕ

作为集合的映射是双射. 此外, 还有自然的同构

A_{p} ≅ (A_{f})_{p_{f}}

, 因此容易定义并验证同构

(ϕ, ϕ^{♯}) : (D (f), O_{X} ∣_{D (f)}) ≅ Spec A_{f}

$□$

习题 2. 设 $(X, O_{X})$ 是概形, $U \subseteq X$ 是开集. 证明 $(U, O_{X} ∣_{U})$ 是概形. 我们将其称之为开集 $U$ 上的诱导概形结构, 并将 $(U, O_{X} ∣_{U})$ 称为 $X$ 的开子概形.

证明.

证明. 注意到任意仿射概形中存在一组由同构于仿射概形的开集构成的基, 即

(D (f), O ∣_{D (f)})

. 因此仿射性是局部性质. 从而概形的开子集仍然局部仿射, 因此也是概形.

$□$

习题 3. 设 $(X, O_{X})$ 是概形. 如果对任意开集 $U \subseteq X$ , $O_{X} (U)$ 中都没有幂零元素, 就说 $(X, O_{X})$ 既约.

(a)	证明: $(X, O_{X})$ 既约当且仅当对任意 $P \in X$ , 局部环 $O_{X, P}$ 里都没有幂零元素.
(b)	令 $(X, O_{X})$ 为概形. 令 $(O_{X})_{red}$ 为预层 $U \mapsto O_{X} (U)_{red}$ , 其中, 对任意环 $A$ , $A_{red}$ 表示 $A$ 商掉幂零元的理想构成的商环. 证明 $(X, (O_{X})_{red})$ 是概形. 我们称之为 $X$ 的既约化概形, 记作 $X_{red}$ . 证明存在同态 $X_{red} \to X$ , 其限制在底空间上是同胚.
(c)	设 $f : X \to Y$ 是概形同态, 且 $X$ 既约. 证明 $f$ 穿过 $Y_{red}$ .

证明.

(a)	若 $U$ 是开集, $s \in O_{X} (U)$ 幂零, 则对任意 $P \in U$ , $s_{P}$ 幂零. 因此若 $O_{X, P}$ 中都无幂零元素, 即知 $s_{P} = 0\forall P \in U$ , 因此 $s = 0$ . 充分性即证. 反之, 若 $X$ 既约, 则对任意 $P \in X$ , $O_{X, P} = lim_{P \in U} O_{X} (U)$ 是既约环的直极限, 因此也既约.
(b)	只需注意到 $(A_{f})_{red} ≅ (A_{red})_{f}$ , 因此 $(Spec A)_{red} ≅ Spec A_{red}$ . $X_{red} \to X$ 的映射容易构造, 即在每个截面上对应商同态.
(c)	若 $X$ 既约, 则同态 $f^{♯} : O_{Y} (U) \to f_{*} (O_{X}) (U)$ 必定将幂零元映射到 $0$ , 因此穿过 $O_{Y} (U)_{red}$ . 从而易知 $f$ 穿过 $Y_{red}$ . $□$

习题 4. 令 $A$ 是环, $(X, O_{X})$ 是概形. 任意给定 $f : X \to Spec A$ , 考虑整体截面上的映射, 就得到环同态 $A \to Γ (X, O_{X})$ . 因此存在自然映射 $α : Hom_{Sch} (X, Spec A) \to Hom_{Rings} (A, Γ (X, O_{X})) .$ 证明 $α$ 是双射.

证明.

证明. 设 $g : A \to Γ (X, O_{X})$ , 定义映射 $f : X \to Spec A$ 如下. 对于 $P \in X$ , 考虑复合映射 $A \to Γ (X, O_{X}) \to O_{X, P}$ , 则 $O_{X, P}$ 的极大理想的原像也是 $A$ 中的素理想, 即为 $f (P)$ . 由定义, 自然有映射 $f_{p}^{♯} : A_{p} \to f_{*} (O_{X})_{p}$ . 因此容易定义概形同态 $(f, f^{♯}) : X \to Spec A$ .

若记以上构造为自然映射

β : Hom_{Rings} (A, Γ (X, O_{X})) \to Hom_{Sch} (X, Spec A)

, 不难验证

α

与

β

互为逆映射. 从而

α

必定是双射.

$□$

习题 5. 描述 $Spec Z$ , 并证明它是概形范畴中的终对象.

证明.

证明. $Spec Z$ 的底空间是以所有素数为点的有限补空间. 对一个开集 $U$ , 设 $U$ 不包含的素数为 $p_{1}, \dots, p_{k}$ , 则 $Γ (U, Spec Z)$ 是所有分母仅有 $p_{1}, \dots, p_{k}$ 这些素因子的有理数构成的环.

由习题 2.4 即知

Spec Z

是概形范畴的终对象, 因为

Z

是环范畴的始对象.

$□$

习题 6. 描述零环的谱, 并证明它是概形范畴的始对象.

证明.

证明. 零环的谱是空集. 显然是始对象.

$□$

习题 7. 令 $X$ 是概形. 对任意 $x \in X$ , 设 $O_{x}$ 是 $x$ 处的局部环, $m_{x}$ 是其极大理想. 定义 $x$ 处的剩余域是 $k (x) = O_{x} / m_{x}$ . 设 $K$ 是域. 证明要给出 $Spec K \to X$ 的同态, 等价于给出点 $x \in X$ 及域嵌入 $k (x) \to K$ .

证明.

Spec K

是单点空间, 因此由定义立证.

$□$

习题 8. 设 $X$ 是概形. 对 $x \in X$ , 定义 $X$ 中 $x$ 处的 Zariski 切空间 $T_{x}$ 是 $k (x)$ -向量空间 $m_{x} / m_{x}^{2}$ 的对偶空间. 假设 $X$ 是域 $k$ 上的概形, $k [ϵ] / ϵ^{2}$ 是 $k$ 上的对偶数环. 证明要给出从 $Spec k [ϵ] / ϵ^{2}$ 到 $X$ 的同态, 等价于给出一个 $k$ -有理点 $x \in X$ (即 $k (x) = k$ ) 和 $T_{x}$ 的一个元素.

证明.

Spec k [ϵ] / ϵ^{2}

也是单点空间. 因此由定义易证.

$□$

习题 9. 设 $X$ 是拓扑空间, $Z$ 是其不可约闭子集. $Z$ 的一般点就是闭包等于 $Z$ 的点. 若 $X$ 是概形, 证明每个 (非空) 不可约闭子集都有唯一的一般点.

证明.

证明. 在一般情况下, 对任意与 $Z$ 相交的仿射开子集 $U$ , 由上述推导即知存在唯一的 $ξ_{U} \in Z \cap U$ 使得 ${ξ_{U}}^{-} \cap U = Z \cap U$ . 若 $U, V$ 是两个这样的开集, 则由不可约性质知 $U \cap V \cap Z$ 非空. 取仿射开集 $W \subseteq U \cap V$ 使得 $W \cap Z$ 非空. 由上述推导, $ξ_{U}$ 和 $ξ_{V}$ 也同时属于 $W$ , 并且是 $W$ 中 $W \cap Z$ 的唯一一般点. 因此所有 $ξ_{U}$ 全部相等, 也就是 $Z$ 的一般点.

若

X ≅ Spec A

是仿射概形, 则其非空不可约闭子集必定形如

V (p)

, 从而有唯一的一般点

p

. 进一步地, 若

D (f)

是与

V (p)

相交的仿射开集, 则

p \in D (f)

, 因此

p

也是

D (f) \cap V (p)

的一般点.

$□$

习题 10. 描述 $Spec R [x]$ . 其底空间与 $R$ 这个集合有何区别? 与 $C$ 呢?

证明.

证明. $Spec R [x]$ 中有一般点 $(0)$ , 还有若干闭点; 闭点与 $R [x]$ 中的不可约多项式一一对应: 即对每个 $r \in R$ , 有闭点 $(x - r)$ ; 对任意 $b^{2} - 4 c < 0$ , 有闭点 $(x^{2} + b x + c)$ . 截面则与习题 2.5 类似.

其底空间比集合

R

多出一般点以及二次多项式对应的闭点. 而与

C

相比, 每个复数都与其复共轭等同起来了 (此外当然也多出了一般点).

$□$

习题 11. 令 $k = F_{p}$ 是 $p$ 元有限域, 描述 $Spec k [x]$ . 其点处的剩余域是什么? 给定一个域, $Spec k [x]$ 中有多少以其为剩余域的点?

证明.

证明. $Spec k [x]$ 的点有一个一般点 $(0)$ , 以及若干闭点, 与首一不可约多项式一一对应. $(0)$ 处的剩余域是分式域 $k (x)$ . 若 $f$ 是不可约多项式, 则 $(f)$ 处的多项式是 $k [x] / (f) ≅ F_{q}$ , 其中 $q = p^{d e g f}$ .

若给定 $k$ 的有限扩域 $F_{q}, q = p^{n}$ , 则以其为剩余域的点的个数即为 $k [x]$ 中 $n$ 次首一不可约多项式的个数, 由 Gauss 公式即为 $\frac{1}{n} d ∣ n \sum μ (\frac{n}{d}) q^{d} .$ $□$

习题 12 (粘接引理). 结论很有用, 但是证明平凡. 不写了!

习题 13. 若拓扑空间 $X$ 的任意开覆盖都有子覆盖, 就称 $X$ 拟紧 (其实就是一般情况下提及的紧).

(a)	证明: 拓扑空间 Noether 当且仅当其任意开子集拟紧.
(b)	若 $X$ 是仿射概形, 证明 $sp (X)$ 拟紧, 但是一般并不 Noether. 如果 $sp (X)$ Noether, 就说 $X$ Noether.
(c)	若 $A$ 是 Noether 环, 证明 $sp (Spec A)$ 是 Noether 空间.
(d)	给出上一条的逆命题的一个反例, 即 $sp (Spec A)$ 是 Noether 空间, 但 $A$ 不 Noether.

证明.

(a)	由定义平凡.
(b)	若 $sp (Spec A) \subseteq ⋃_{i} U_{i}$ , 不妨设每个 $U_{i}$ 都是基本开集 $D (f_{i})$ . 那么作为理想, $1 = \sum_{i} (f_{i})$ , 即存在有限个 $f_{i}$ 可以生成 $A$ . 因此对应的有限个 $D (f_{i})$ 覆盖 $Spec A$ , 从而覆盖 $sp (Spec A)$ .
(c)	若 $A$ 是 Noether 环, 则其理想满足升链条件, 对应在 $Spec A$ 中就说明其闭集满足降链条件. 因此 $Spec A$ 是 Noether 空间, $sp (Spec A)$ 作为其子空间也是 Noether 空间.
(d)	设 $A = k [x_{1}, x_{2}, \dots] / (x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, \dots)$ . 记 $p = (x_{1}, x_{2}, \dots) \subseteq A$ , 则 $A / p ≅ k$ , 且 $p$ 中元素都幂零. 因此 $A$ 只有 $p$ 一个素理想, 从而 $Spec A$ Noether. 但是 $A$ 显然不 Noether. $□$

习题 14.

(a)	设 $S$ 是分次环. 证明 $Proj S = \emptyset$ 当且仅当 $S_{+}$ 中仅包含幂零元素.
(b)	设 $φ : S \to T$ 是分次环的分次同态 (即保持次数的同态). 令 $U = {p \in Proj T ∣ p \neq \supseteq φ (S_{+})}$ . 证明 $U$ 是 $Proj T$ 的开子集, 且 $φ$ 决定了一个自然同态 $f : U \to Proj S$ .
(c)	即使 $φ$ 不是同构, $f$ 也可能是. 比如说, 设 $φ_{d} : S_{d} \to T_{d}$ 在 $d ⩾ d_{0}$ 的情况下都是同构, 其中 $d_{0}$ 是非负整数. 证明 $U = Proj T$ 并且 $f : Proj T \to Proj S$ 是同构.
(d)	设 $V$ 是射影簇, 其分次坐标环是 $S$ . 证明 $t (V) ≅ Proj S$ .

证明.

(a)	若 $S_{+}$ 中不仅包含幂零元素, 则考虑不包含某个非幂零元素及其幂的极大真齐次理想, 不难证明其是齐次素理想. 反之, 设 $S_{+}$ 中仅包含幂零元素, 则若 $p \subseteq S$ 是齐次素理想, 则 $p \supseteq (0) \supseteq S_{+}$ . 因此一切齐次素理想都包含 $S_{+}$ , 从而 $Proj S = \emptyset$ .
(b)	$U = Proj T - V (φ (S_{+}))$ 当然是 $Proj T$ 中的开集. 若 $p \in U$ , 可以定义 $f (p) = ker (S \to T \to T / p) = φ^{- 1} (p)$ . 而 $f^{♯}$ 可以由 $φ$ 诱导的局部环同态 $S_{(f (p))} \to T_{(p)}$ 定义.
(c)	若 $φ_{d}$ 在 $d ⩾ d_{0}$ 的情况下都是同构, 则 $T / φ (S)$ 中次数大于 $0$ 的齐次元素都是幂零元. 因此易知 $U = Proj T$ . 为证明 $f$ 是同构, 只需证明 $φ$ 诱导的局部环同态 $S_{(φ^{- 1} p)} \to T_{(p)}$ 都是同构. 取元素验证其既单又满即可.
(d)	不会. $□$

习题 15. 不会代数簇, 不写了.

习题 16. 令 $X$ 是概形, $f \in Γ (X, O_{X})$ , 定义 $X_{f} = {x \in X ∣ f_{x} \in / m_{x}} .$ 其中 $f_{x} \in O_{x}$ 是 $f$ 在 $x$ 处的茎, $m_{x}$ 是 $O_{x}$ 的极大理想.

(a)	设 $U = Spec B$ 是 $X$ 中的仿射开集, $\overset{ˉ}{f} \in Γ (U, O_{X} ∣_{U})$ 是 $f$ 的限制, 证明 $U \cap X_{f} = D (\overset{ˉ}{f})$ . 由此说明 $X_{f}$ 是开集.
(b)	假设 $X$ 拟紧. 令 $A = Γ (X, O_{X})$ , $a \in A$ 且 $a$ 限制在 $X_{f}$ 上消失. 证明存在 $n > 0$ , 使得 $f^{n} a = 0$ [提示: 用仿射开集覆盖 $X$ ].
(c)	现在假设 $X$ 可以由有限个仿射开集 $U_{i}$ 覆盖, 且交集 $U_{i} \cap U_{j}$ 全都拟紧 (比如说, $sp (X)$ 是 Noether 空间时即满足此条件). 令 $b \in Γ (X_{f}, O_{X_{f}})$ . 证明对某个 $n > 0$ , $f^{n} b$ 是 $A$ 中元素的限制.
(d)	沿用 (c) 中的假设, 证明 $Γ (X_{f}, O_{X_{f}}) ≅ A_{f}$ .

证明.

(a)	若 $x \in U$ , 则 $f_{x} = \overset{ˉ}{f}_{x}$ . 因此显然.
(b)	先设 $X = Spec A$ 是仿射开集. 则 $X_{f} = D (f), O_{X} ∣_{X_{f}} ≅ Spec A_{f}$ . 因此 $a$ 限制在 $X_{f}$ 上消失等价于存在 $n > 0$ 使得 $f^{n} a = 0$ . 在一般情况下, 由于 $X$ 可以由仿射开集覆盖, 而其拟紧, 从而其可以由有限个仿射开集覆盖, 设为 $U_{1}, \dots, U_{k}$ , 其中 $U_{i} ≅ Spec B_{i}$ . 记 $f, a$ 在 $U_{i}$ 上的限制为 $\overset{ˉ}{f}_{i}, \overset{a}{ˉ}_{i} \in B_{i}$ . 由上述推导, 对每个 $i$ , 存在 $n_{i}$ 使得 $\overset{ˉ}{f}_{i}^{n_{i}} \overset{a}{ˉ}_{i} = 0$ . 取 $n$ 为 $n_{i}$ 中的最大值, 则由层的唯一性公理即知 $f^{n} a = 0$ .
(c)	先设 $X = Spec A$ 是仿射开集, 则 $b \in Γ (X_{f}, O_{X_{f}}) ≅ A_{f}$ , 从而存在 $n$ 使得 $f^{n} b$ 是 $A$ 中元素的限制. 一般情况下, 同 (b), 设 $X$ 可以由 $U_{1}, \dots, U_{k}$ 覆盖, $U_{i} ≅ Spec B_{i}$ . 同理定义 $\overset{ˉ}{f}_{i} \in Γ (U_{i}, O_{X}), \overset{ˉ}{b}_{i} \in Γ (U_{i} \cap X_{f}, O_{X})$ . 则存在 $n$ , 使得每个 $\overset{ˉ}{f}_{i}^{n} \overset{ˉ}{b}_{i}$ 是 $a_{i} \in A$ 的限制. 此时对每一对 $i \neq = j$ , $a_{i} - a_{j}$ 在 $U_{i} \cap U_{j} \cap X_{f}$ 上的限制为 $0$ . 因此由 (b), 存在 $m_{ij}$ 使得 $f^{n_{ij}} (a_{i} - a_{j})$ 在 $U_{i} \cap U_{j}$ 上限制为 $0$ . 取 $m$ 为 $m_{ij}$ 的最大值, 则 ${f^{m} a_{i}}$ 彼此兼容, 从而可以粘贴成 $t \in A$ , 其在 $X_{f}$ 上的限制即是 $f^{n + m} b$ .
(d)	显然 $f$ 在 $Γ (X_{f}, O_{X_{f}})$ 上可逆. 从而由 (b) (c) 易证. $□$

习题 17 (仿射性的判别条件).

(a)	设 $f : X \to Y$ 是概形同态, 且 $Y$ 可以由若干开集 $U_{i}$ 覆盖, 使得每个限制映射 $f^{- 1} (U_{i}) \to U_{i}$ 是同构. 证明 $f$ 也是同构.
(b)	概形 $X$ 仿射当且仅当存在有限个元素 $f_{1}, \dots, f_{r} \in A = Γ (X, O_{X})$ , 使得每个开集 $X_{f_{i}}$ 都仿射, 且 $(f_{1}, \dots, f_{r}) = A$ [提示: 使用前面的习题 2.4 和习题 2.16d].

证明.

(a)

容易知道 $f$ 在底空间上是同胚. 且 $f$ 在茎上都是同构, 从而 $f$ 是同构.

(b)

由习题 2.16d 知道

X_{f_{i}} ≅ Spec A_{f_{i}}

. 用习题 2.4 的方法构造映射

g : X \to Spec A

. 不难发现

g

将

X_{f_{i}}

映射到

D (f_{i})

, 且映射

g (X_{f_{i}}) : O_{X} (X_{f_{i}}) \to A_{f_{i}}

是同构. 因此再由习题 2.4 就知道

g ∣_{X_{f_{i}}}

即是同构

X_{f_{i}} ≅ Spec A_{f_{i}}

. 由

(f_{1}, \dots, f_{r}) = A

即知

D (f_{i})

覆盖

Spec A

. 因此由 (a) 即证.

$□$

习题 18.

(a)	设 $A$ 是环, $X = Spec A, f \in A$ . 证明 $f$ 幂零当且仅当 $D (f)$ 为空.
(b)	令 $φ : A \to B$ 是环同态, $f : Y = Spec B \to X = Spec A$ 是诱导的仿射概形同态. 证明 $φ$ 是单射当且仅当对应的层映射 $f^{♯} : O_{X} \to f_{*} O_{Y}$ 是单射. 更进一步地, 证明这种情况下 $f$ 是支配的, 即 $f (Y)$ 在 $X$ 中稠密.
(c)	在同样的假设下, 证明: 若 $φ$ 是满射, 则 $f$ 将 $Y$ 同胚到 $X$ 的闭子集, 且 $f^{♯}$ 是满射.
(d)	证明 (c) 的逆命题, 即如果 $f$ 将 $Y$ 同胚到 $X$ 的闭子集, 且 $f^{♯}$ 是满射, 则 $φ$ 是满射 [提示: 考虑 $X^{'} = Spec (A / ker φ)$ , 并使用 (b) 和 (c)].

证明.

(a)	平凡.
(b)	若 $f^{♯}$ 是单射, 则 $f^{♯} (X) : O_{X} (X) = A \to f_{*} O_{Y} (X) = B$ 是单射, 即 $φ$ 是单射. 反之, 若 $φ$ 是单射, 则对任意 $a \in A$ , $A_{a} \to B_{φ (a)}$ 也是单射; 即 $f^{♯} (D (a))$ 是单射. 若 $U$ 是开集, $s \in O_{X} (U), f^{♯} (U) (s) = 0$ , 则 $s$ 限制在每个 $D (a) \subseteq U$ 上为 $0$ . 由于 $D (a)$ 构成一组基, 由层的唯一性公理即知 $s = 0$ . 因此 $f^{♯}$ 是单射. 并且若 $φ$ 是单射, 则对任意 $a \in A$ , $a$ 不幂零, $φ (a)$ 也不幂零. 因此 $B_{φ (a)}$ 非 $0$ 环, 即 $f^{- 1} (D (a)) \neq = \emptyset$ . 因此 $f (Y)$ 与所有开集相交非空, 即稠密.
(c)	设 $φ$ 是满射, 则 $B ≅ A / ker φ$ , 从而 $B$ 的素理想通过 $f$ 和 $A$ 中所有包含 $ker φ$ 的素理想一一对应. 因此 $f$ 将 $Y$ 同胚到 $V (ker φ) \subseteq A$ . 且类似 (b), 若 $a \in A$ , 则 $A_{a} \to B_{φ (a)}$ 是满射. 从而 $f^{♯}$ 在一组开集基上的映射都为满射, 因此 $f^{♯}$ 是满射 (因为茎上的映射都是满射).
(d)	定义 $X^{'} = Spec (A / ker φ)$ , 则 $φ$ 分解为 $π : A \to A / ker φ$ 和 $φ^{'} : A / ker φ \to B$ . 因此 $f$ 也分解为 $f^{'} : Y \to X^{'}$ 和 $p : X^{'} \to X$ . 由于 $φ^{'}$ 是单射, $f^{'} (Y)$ 在 $X^{'}$ 中稠密. 然而 $X^{'}$ (拓扑上) 可以看作 $X$ 的子空间, 从而 $f^{'} (Y)$ 是 $X^{'}$ 的闭集, 因此 $f^{'} (Y) = X^{'}$ . 而 $f^{♯} : O_{X} \to p_{} O_{X^{'}} \to f_{} O_{Y}$ 是满射, 因此由 $p$ 是单射即知 $f^{'♯} : O_{X^{'}} \to f_{*}^{'} O_{Y}$ 是满射. 而 $f^{♯}$ 又是单射, 因此是同构. $f^{'}$ 也是同胚, 所以 $X^{'} ≅ Y$ , 因此 $A / ker φ ≅ B$ , 即 $φ$ 是满射. $□$

习题 19. 令 $A$ 是环, 证明下列条件彼此等价:

1)	$Spec A$ 不连通.
2)	存在非零元素 $e_{1}, e_{2} \in A$ 使得 $e_{1} e_{2} = 0, e_{1}^{2} = e_{1}, e_{2}^{2} = e_{2}, e_{1} + e_{2} = 1$ (这样的元素称为正交幂等元).
3)	$A$ 同构于两个非零环的直积.

证明.

证明. 若 (2) 成立, 则 $Spec A = D (e_{1}) \cup D (e_{2}), D (e_{1}) \cap D (e_{2}) = \emptyset$ , 因此 (1) 成立.

若 (3) 成立, 则两个直积因子中的单位元即是正交幂等元, 从而 (2) 成立.

若 (1) 成立, 记

Spec A = U_{1} \cup U_{2}, U_{1} \cap U_{2} = \emptyset

. 设

U_{1} = V (a_{1}), U_{2} = V (a_{2})

, 其中

a_{1}, a_{2}

是根理想. 则

a_{1} \cap a_{2} = 0, a_{1} + a_{2} = A

. 因此

A = a_{1} \times a_{2}

. 从而 (3) 成立.

$□$