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同调代数学习笔记 (3)

上次只说了阿贝尔范畴上的一些东西,以及蛇引理什么的。这次写一些链复形吧。

链复形

链复形的概念最初由代数拓扑/代数几何等方面导出,下面的例子会提到。

定义

加性范畴 A\mathcal{A} 中的一个链复形 AA_\bullet 是一列 AiOb(A)A_i\in\rm{Ob}(A)(对每个 iZi\in\mathbb Z)以及之间的态射 dn:AnAn1d_n:A_n\to A_{n-1},满足 dn1dn=0d_{n-1}d_n=0

An+1dn+1AndnAn1\cdots\xrightarrow{}A_{n+1}\xrightarrow{d_{n+1}}A_n\xrightarrow{d_n}A_{n-1}\xrightarrow{}\cdots

链映射 f:ABf:A_\bullet\to B_\bullet 定义为一族态射 fn:AnBnf_n:A_n\to B_n,使得对任意 nn 都有 dnfn1=fndnd_nf_{n-1}=f_nd_n(这里我们没有区分两个 dd)。

A\mathcal{A} 中的所有链复形这样组成了一个范畴,记做 Ch(A)\rm{Ch}(\mathcal{A})。其中所有满足 A1=A2==0A_{-1}=A_{-2}=\dots=0 的链复形构成的满子范畴(满子范畴就是说,如果两个对象处于子范畴内那么它们之间所有态射都处于子范畴内)记做 Ch0(A)\rm{Ch}_{\geq0}(\mathcal{A})

对于一个 AAA\in\mathcal{A},可以把它看做一个链复形 0A0\cdots\to0\to A\to0\to\cdots(只有下标为 00 的位置非零),这样就把 A\mathcal{A} 看做了 Ch(A)\rm{Ch}(A) 的一个满子范畴。

对于阿贝尔范畴中的链复形 AA_\bullet,定义其 nn-维闭链 Zn=kerdnZ_n=\ker d_nnn-维边缘链 Bn=imdn+1B_n=\im d_{n+1},都是 AnA_n 的子对象。显然有 BnZnB_n\subseteq Z_n(i.e. 存在一个子对象之间的单射 BnZnB_n\to Z_n),因此可以定义商对象 Hn=Zn/BnH_n=Z_n/B_n(即上述单射的 coker\coker),称为 AA_\bulletnn-维同调群

一些引理

  1. 如果 A\mathcal{A} 是阿贝尔范畴,那么 Ch(A){\rm Ch}(\mathcal{A}) 也是。
  2. 链映射 f:ABf:A_\bullet\to B_\bullet 是单射当且仅当每个 fn:AnBnf_n:A_n\to B_n 是单射。
  3. 链映射 f:ABf:A_\bullet\to B_\bullet 是满射当且仅当每个 fn:AnBnf_n:A_n\to B_n 是满射。
  4. Ch(A){\rm Ch}(\mathcal A)AfBgCA_\bullet\xrightarrow{f}B_\bullet\xrightarrow{g}C_\bullet 是正合的当且仅当每个 AnfnBngnCnA_n\xrightarrow{f_n}B_n\xrightarrow{g_n}C_n 是正合的。

证明很容易:如果每个 fn:AnBnf_n:A_n\to B_n 都有核,那么所有 kerfn\ker f_n 自然组成了一个链复形,这个链复形(以及 kerfnAn\ker f_n\to A_n 的态射族)构成了 ff 的核。余核的情况与此对偶,因此 1. 4. 即证。考虑到任意加性范畴中映射 h:UVh:U\to V 是单射当且仅当 0U0\to U 是其核(满射与此对偶),所以 2. 3. 即证。

例子

单纯同调

首先先说一下什么叫单纯复形:

单纯形:欧式空间里的若干仿射无关的点构成的一个几何体(它们的凸包)。如果其中有 n+1n+1 个点 v0,,vnv_0,\dots,v_n,那么就记其为 [v0,,vn][v_0,\dots,v_n] 并称为 nn-维单纯形。如果从这些顶点中选取一个子集,那么会得到一个 mm 维单纯形(mnm\leq n[vi0,,vim][v_{i_0},\dots,v_{i_m}],称之为原来的单纯形的一个面。

单纯复形:若干个单纯形组成的集合 KK ,要求 KK 中任何一个单纯形的任何一个面还在 KK 里面,并且 KK 中任意两个单纯形的交集都是它们的一个公共面。(即,规范相交KK 的维数就是其中单纯形的最大维数。

如果有一个 nn-维单纯复形 KK,令 KtK_t 表示其中所有 tt-维单纯形的集合(0tn0\leq t\leq n。每个 tt-维单纯形都有 t+1t+1(t1)(t-1)-维面;并且如果我们把 KK 中所有顶点排好序,那么这些面也是有序的,即存在映射 i:KtKt1(0it)\partial_i:K_t\to K_{t-1}\pod{0\leq i\leq t} 定义为 i([v0,,vt])=[v0,,v^i,,vt]\partial_i([v_0,\dots,v_t])=[v_0,\dots,\hat v_i,\dots,v_t]v^i\hat v_i 表示我们删去了 viv_i)。

任意给定一个环 RR,定义 KK单纯同调 CC_\bullet 如下:CtC_t 为集合 KtK_t 生成的自由模;如果 t<0t<0 或者 t>nt>n 那么 Ct=0C_t=0i\partial_i 诱导了模同态 CtCt1C_t\to C_{t-1},也记做 i\partial_i,那么定义 dt:CtCt1d_t:C_t\to C_{t-1} 为它们的交错求和

dt=j=0t(1)jjd_t=\sum_{j=0}^t(-1)^j\partial_j

换句话说,

dt([v0,,vt])=j=0t(1)j[v0,,v^j,,vt]d_t([v_0,\dots,v_t])=\sum_{j=0}^t(-1)^j[v_0,\dots,\hat v_j,\dots,v_t]

为了证明这样的映射满足 dt1dt=0d_{t-1}d_t=0,只需要发现每个 [v0,,v^i,,v^j,,vn][v_0,\dots,\hat v_i,\dots,\hat v_j,\dots,v_n] 都在 dt1(dt([v0,,vt]))d_{t-1}(d_t([v_0,\dots,v_t])) 中出现了两次,并且系数分别为 (1)i+j(-1)^{i+j}(1)i+j1(-1)^{i+j-1}

这样定义出来的链复形 CC_\bullet 中的 tt-维闭链在几何上恰好是一个“没有边界的闭区域”(比方说,一条闭合曲线,一张闭合曲面),而 tt-维边缘链恰好是一个高一维的区域的边界。这个时候同调群 HnH_n 就刻画了 KK 中所有“nn-维的洞”;比方说,如果 KK 是一个四面体的表面,那么 KK 中所有面按一定符号加起来就是一个闭链,但是不是一个边缘链(因为 KK 不包含这个四面体的内部)。因此此时 H3RH_3\cong R,说明了 KK 中有恰好一个三维的洞。

奇异同调

奇异同调和单纯同调类似,只不过单纯形奇异单纯形:即,固定一个拓扑空间 XX,其上的一个奇异 nn-单纯形定义为 ΔnX\Delta^n\to X 的一个连续映射(Δn\Delta^nnn 维标准单形,即 RnR^ne1,,ene_1,\dots,e_n 张成的凸包),而其奇异同调的对象 StS_t 定义为所有这样的奇异 tt-单纯形生成的自由 RR-模。

前面的面映射 i:KtKt1\partial_i:K_t\to K_{t-1} 也替换成了 ffif\mapsto f\circ\partial_i,从而诱导映射 dn:SnSn1d_n:S_n\to S_{n-1};其中 0,,t:Δt1Δt\partial_0,\dots,\partial_t:\Delta^{t-1}\to\Delta^tΔt1\Delta^{t-1}Δt\Delta^t 的某个面的投影。

可以证明的是如果 XX 本身是一个单纯形,那么其单纯同调及奇异同调之间的链映射 CSC_\bullet\to S_\bullet 所诱导的其同调群上的 RR-模同态是同构;也就是说 XX 的单纯同调群和奇异同调群同构。