看交换代数的时候书里提到了很多可以 generalize 的东西,于是好奇来看了交换代数。目前在看 Weibel 的 An Introduction to Homology Algebra 。
这部分不打算详细写所有的知识点了,写一些过程中不太懂的东西好了。
这一篇可能知识点结构没那么清楚,凑活着看吧。以及没有涉及到链复形(),下一篇再写(我不是才看了 15 页吗.jpg)
定义
预加性范畴,加性范畴
范畴相关的基本定义我就不说了x。
一个 Ab -范畴(预加性范畴 )是说任意两个对象(object,这个东西好像怎么翻译的都有)之间的态射集都有构成阿贝尔群,群运算用加法表示,单位元(零态射)用 0 0 0 表示;并且这个加法还要和态射的复合分配:h ( f + f ′ ) g = h f g + h f ′ g h(f+f')g=hfg+hf'g h ( f + f ′ ) g = h f g + h f ′ g 。
一个加性范畴 首先一个预加性范畴,其次它要有零对象 0 0 0 (同时是始对象和终对象,也就是说对任意 A A A ,H o m ( A , 0 ) \Hom(A,0) H o m ( A , 0 ) 和 H o m ( 0 , A ) \Hom(0,A) H o m ( 0 , A ) 都有唯一元素(这里当然就一定是零态射)),并且对任意两个对象 A , B A,B A , B 都要存在它们的乘积 A × B A\times B A × B 。(这里的乘积既是 product A Π B A\mathbin\Pi B A Π B 又是 coproduct A ⨿ B A\amalg B A ⨿ B )
在一个加性范畴 A \mathcal{A} A 里面,态射 f : B → C f:B\to C f : B → C 的一个 kernel 是一个态射 i : A → B i:A\to B i : A → B 使得 f i = 0 fi=0 f i = 0 ,并且这是 universal 的(也就是说如果有另一个态射 q : A ′ → B , f q = 0 q:A'\to B,fq=0 q : A ′ → B , f q = 0 ,那么一定存在唯一的态射 q ′ : A ′ → A q':A'\to A q ′ : A ′ → A 使得 q = i q ′ q=iq' q = i q ′ ,也就是这样的交换图(换句话说 i i i 就是 0 0 0 和 f f f 的等化子)
把上面的图反过来的话,就得到了态射 f f f 的 cokernel:即一个态射 e : C → D e:C\to D e : C → D 使得 e f = 0 ef=0 e f = 0 并且这个性质是 universal 的。
加性范畴中一个态射 i i i 称为单的,如果 i g = 0 ⟹ g = 0 ig=0\implies g=0 i g = 0 ⟹ g = 0 。一个态射 e e e 称为满的,如果 h e = 0 ⟹ h = 0 he=0\implies h=0 h e = 0 ⟹ h = 0 (普通范畴也可以定义单和满,即 i g = i h ⟹ g = h ig=ih\implies g=h i g = i h ⟹ g = h 等)。接下来是原书中“容易看出”的习题:
一个态射的 kernel 必定是单的,cokernel 一定是满的。
这个证明很容易:如果 i : A → B i:A\to B i : A → B 是 f : B → C f:B\to C f : B → C 的 kernel 而 g : P → A , i g = 0 g:P\to A,ig=0 g : P → A , i g = 0 。那么 f ( i g ) = 0 f(ig)=0 f ( i g ) = 0 ,从而存在唯一 的态射 g ′ g' g ′ 使得 i g = i g ′ ig=ig' i g = i g ′ 。然而 i g = i 0 ig=i0 i g = i 0 ,因此必定有 g = 0 g=0 g = 0 。对于 cokernel 也完全一样。
可能有些人会不理解:kernel 不应该是 B B B 的子集吗?cokernel 不应该是 C C C 的商集吗?然而范畴论中一个对象 B B B 的“子对象”就是一个单射 i : A → B i:A\to B i : A → B ;如果存在同构 ϕ : A 1 → A 2 \phi:A_1\to A_2 ϕ : A 1 → A 2 使得 i 1 = i 2 ϕ i_1=i_2\phi i 1 = i 2 ϕ 的话那么两个子对象 i 1 : A 1 → B i_1:A_1\to B i 1 : A 1 → B 和 i 2 : A 2 → B i_2:A_2\to B i 2 : A 2 → B 就会被看做“一样的”。如果我们把箭头反过来,单射改成满射,那么就定义了“商对象”。有时候我们也会把 kernel 和 cokernel 里面多出来的对象记做 ker f \ker f ker f 和 c o k e r f \coker f c o k e r f 。
阿贝尔范畴
一个阿贝尔范畴 首先需要是一个加性范畴,其次:
每个态射都存在 kernel 和 cokernel;
每个单射都是它的 cokernel 的 kernel;
每个满射都是它的 kernel 的 cokernel。
典型的阿贝尔范畴就是 R R R -模范畴 m o d \bf mod m o d -R R R 。
在一个阿贝尔范畴里面可以定义一个态射 f : B → C f:B\to C f : B → C 的像 i m f = ker ( c o k e r f ) \im f=\ker(\coker f) i m f = ker ( c o k e r f ) ,并且可以把 f f f 分解成一个满射 B → i m f B\to\im f B → i m f 和一个单射 i m f → C \im f\to C i m f → C 。证明如下:
对于一个态射 f : B → C f:B\to C f : B → C 首先取其 c o k e r \coker c o k e r (图中未标出态射名),然后取 C → c o k e r f C\to\coker f C → c o k e r f 这个态射的 kernel,记做 i m f \im f i m f 。i m f → C \im f\to C i m f → C 的态射记做 m m m 。由于 kernel 都是单的,所以 m m m 是单的。接下来由于 B → f C → c o k e r f B\xrightarrow{f}C\to\coker f B f C → c o k e r f 复合为 0 0 0 。所以根据 m m m 的泛性质,存在一个态射 v : B → i m f v:B\to\im f v : B → i m f 使得 f = m v f=mv f = m v 。接下来只需要证明 v v v 是满的。
如果 t : i m f → D t:\im f\to D t : i m f → D 使得 t v = 0 tv=0 t v = 0 ,那么考虑 t t t 和 m m m 的推出,如图所示。由于 t 1 f = t 1 m v = m 1 t v = m 1 0 = 0 t_1f=t_1mv=m_1tv=m_10=0 t 1 f = t 1 m v = m 1 t v = m 1 0 = 0 ,所以存在一个 c o k e r f \coker f c o k e r f 到推出的态射(图中虚线)使得 t 1 t_1 t 1 是这样一个复合。但是 m m m 是 C → c o k e r f C\to\coker f C → c o k e r f 的核,从而我们知道 t 1 m = 0 t_1m=0 t 1 m = 0 ,也就是说 m 1 t = 0 m_1t=0 m 1 t = 0 。
关于推出,下面的引理说明了阿贝尔范畴中单射的推出还是单射,也就是说 m m m 是单射 ⟹ m 1 \implies m_1 ⟹ m 1 是单射。从而我们就可以由 m 1 t = 0 m_1t=0 m 1 t = 0 得到 t = 0 t=0 t = 0 。
引理:在阿贝尔范畴中若 i : A → B i:A\to B i : A → B 是单射,那么它沿 f : A → C f:A\to C f : A → C 的推出 i 1 : C → P i_1:C\to P i 1 : C → P 也是单射(P P P 是推出的对象)。
阿贝尔范畴中单态射的推出
要证明这个引理,只需要考虑到 i i i 和 f f f 的推出可以看成由 i i i 和 − f -f − f 引导的 [ i , − f ] : A → B × C [i,-f]:A\to B\times C [ i , − f ] : A → B × C 的 cokernel。即,若 ϕ : B × C → P \phi:B\times C\to P ϕ : B × C → P 是 [ i , − f ] [i,-f] [ i , − f ] 的 cokernel,那么 i 1 : B → B × C → P i_1:B\to B\times C\to P i 1 : B → B × C → P 就可以看做 i i i 的推出,而 f 1 : C → B × C → P f_1:C\to B\times C\to P f 1 : C → B × C → P 可以看做 f f f 的推出,如下图所示:
将 c o k e r [ i , − f ] \coker[i,-f] c o k e r [ i , − f ] 的 universal property 和 pushout 比较一下就可以知道这就是一个 pushout。(对任何的 p : B → F , q : C → F p:B\to F,q:C\to F p : B → F , q : C → F ,如果 p i = q f pi=qf p i = q f ,那么一定有 [ p , q ] [ i , − f ] = 0 [p,q][i,-f]=0 [ p , q ] [ i , − f ] = 0 ,因此 [ p , q ] [p,q] [ p , q ] 经过 c o k e r [ i , − f ] \coker[i,-f] c o k e r [ i , − f ] )。然而既然 i i i 是单的,那么容易证明 [ i , − f ] [i,-f] [ i , − f ] 也是单的,因此 [ i , − f ] [i,-f] [ i , − f ] 是它的 cokernel 的 kernel。
这样,如果 g : D → C g:D\to C g : D → C 使得 i 1 g = 0 i_1g=0 i 1 g = 0 ,则 D → g C → p 2 B × C ⟶ c o k e r [ i , − f ] D\xrightarrow{g}C\xrightarrow{p_2}B\times C\longrightarrow\coker[i,-f] D g C p 2 B × C ⟶ c o k e r [ i , − f ] 也为 0 0 0 ,因此存在 g ′ : D → A g':D\to A g ′ : D → A 使得 p 2 g = [ i , − f ] g ′ p_2g=[i,-f]g' p 2 g = [ i , − f ] g ′ 。再把这个等式投影到 B B B 上,就有 0 = i g ′ 0=ig' 0 = i g ′ ,因此 g ′ = 0 g'=0 g ′ = 0 ,从而 g g g 也为 0 0 0 。这样,我们就证明了 i 1 i_1 i 1 是单态射。(取对偶的话,就是说满态射的拉回还是满态射)
对于推出与拉回,下面还有一个引理:
若 B ← g P → f C B\xleftarrow{g}P\xrightarrow{f}C B g P f C 是 B → k A ← h C B\xrightarrow{k}A\xleftarrow{h}C B k A h C 的拉回,那么由 g g g 诱导的态射 ker f → ker k \ker f\to\ker k ker f → ker k 是同构。(对偶的,如果后者是前者的推出,那么由 h h h 引导的态射 c o k e r f → c o k e r k \coker f\to\coker k c o k e r f → c o k e r k 是同构)
Proof
记内射 i : ker f → P , j : ker k → B i:\ker f\to P,j:\ker k\to B i : ker f → P , j : ker k → B 。首先我们解释一下 g g g 怎样诱导 ker f → ker k \ker f\to\ker k ker f → ker k 的态射:考虑到 k g i = h f i = 0 kgi=hfi=0 k g i = h f i = 0 ,因此存在态射 e : ker f → ker k e:\ker f\to\ker k e : ker f → ker k 使得 g i = j e gi=je g i = j e 。
由于 P P P 是拉回,利用拉回的泛性质,存在一个态射 t : ker k → P t:\ker k\to P t : ker k → P 使得 g t = i , f t = 0 gt=i,ft=0 g t = i , f t = 0 ,因此存在 u : ker k → ker f u:\ker k\to\ker f u : ker k → ker f 使得 t = i u t=iu t = i u ,从而 g i u e = g t e = j e = g i giue=gte=je=gi g i u e = g t e = j e = g i ,并且 f i u e = 0 = f i fiue=0=fi f i u e = 0 = f i ,因此(根据拉回的态射的唯一性)i u e = i iue=i i u e = i ,而 i i i 是单射,从而 u e = 1 ker f ue=1_{\ker f} u e = 1 k e r f 。另一方面,j e u = g i u = g t = j jeu=giu=gt=j j e u = g i u = g t = j ,j j j 也是单射,所以 e u = 1 ker k eu=1_{\ker k} e u = 1 k e r k 。从而 e e e 是同构。
正合列,一些引理
阿贝尔范畴中由对象和态射组成的一个序列 A → f B → g C A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C A f B g C 被称作正合 的(或者说在 B B B 处正合),当且仅当 i m f = ker g \im f=\ker g i m f = ker g 。换句话说如果把 f f f 分解开,那么序列 A → f 1 i m f → f 2 B → g C A\xrightarrow{f_1}\im f\xrightarrow{f_2}B\xrightarrow{g}C A f 1 i m f f 2 B g C 中 D → ϕ B → g C D\xrightarrow{\phi}B\xrightarrow{g}C D ϕ B g C 为 0 0 0 当且仅当 ϕ = f 2 ϕ ′ \phi=f_2\phi' ϕ = f 2 ϕ ′ 。
对于正合列有一个等价的表述,描述如下:若 A → f B → g C A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C A f B g C 满足 g f = 0 gf=0 g f = 0 ,那么该序列正合当且仅当:
对任意的 h : D → B h:D\to B h : D → B ,若 g h = 0 gh=0 g h = 0 ,那么存在同态 l : E → A l:E\to A l : E → A 以及满同态 k : E → D k:E\to D k : E → D 使得 h k = f l hk=fl h k = f l 。
Proof
记 i : ker g → B i:\ker g\to B i : ker g → B 为典范内射,p : A → i m f p:A\to\im f p : A → i m f 为典范单同态,j : i m f → ker g j:\im f\to\ker g j : i m f → ker g 为典范内射(由于 g f = 0 gf=0 g f = 0 ,不难构造这样的同态),这样就把 f f f 分解成了 f = i j p f=ijp f = i j p 。
必要性。若序列正合,而 h : D → B h:D\to B h : D → B 使得 g h = 0 gh=0 g h = 0 ,那么存在唯一的态射 c : D → ker g c:D\to\ker g c : D → ker g 使得 h = i c h=ic h = i c 。令 E = A × ker g D E=A\times_{\ker g}D E = A × k e r g D 为 c c c 和 j p : A → ker g jp:A\to\ker g j p : A → ker g 的拉回,l : E → A , k : E → D l:E\to A,k:E\to D l : E → A , k : E → D 是典范投影,即 c k = j p l ck=jpl c k = j p l 。那么 h k = i c k = i j p l = f l hk=ick=ijpl=fl h k = i c k = i j p l = f l 。由于 p p p 是满的而 j j j 是同构(序列正合),所以 j p jp j p 也是满的,从而 k k k 作为 j p jp j p 的拉回也是满同态。
充分性。由于 g i = 0 gi=0 g i = 0 ,所以根据假设存在 l : E → A l:E\to A l : E → A 以及满的 k : E → ker g k:E\to\ker g k : E → ker g 使得 i k = f l ik=fl i k = f l ,即 i j p l = i k ijpl=ik i j p l = i k 。由于 i i i 是单的,所以 j p l = k jpl=k j p l = k 是满的,从而 j j j 是满的。所以 j j j 既单又满,于是是同构,也就是说 i m f = ker g \im f=\ker g i m f = ker g 。
蛇引理
若有如下交换图并且其中上下两行均为正合列,那么存在正合列 ker a → ker b → ker c → δ c o k e r a → c o k e r b → c o k e r c \ker a\to\ker b\to \ker c\xrightarrow{\delta}\coker a\to\coker b\to\coker c ker a → ker b → ker c δ c o k e r a → c o k e r b → c o k e r c ,其中 δ : ker c → c o k e r a \delta:\ker c\to\coker a δ : ker c → c o k e r a (不严格地)定义为 δ = g 1 − 1 b f 2 − 1 \delta=g_1^{-1}bf_2^{-1} δ = g 1 − 1 b f 2 − 1 。
Proof
其实一个简单的证明是,任何小的(对象构成集合的)阿贝尔范畴都到某个 R R R -模范畴有满、忠实、正合的嵌入,所以我们只需要对 R R R -模范畴证明上述引理(我之前的交换代数学习笔记 (2) 中证明了 R R R -模范畴中的情况)。但是这里我出于练习目的还是决定把它证一遍。
第一部分: δ \delta δ 之外的序列及正合性
我们把 ker a → A ′ \ker a\to A' ker a → A ′ 的态射写作 i a i_a i a ,A → c o k e r a A\to\coker a A → c o k e r a 的态射写作 e a e_a e a 。由于 b f 1 i a = g 1 a i a = 0 bf_1i_a=g_1ai_a=0 b f 1 i a = g 1 a i a = 0 ,存在 p 1 : ker a → ker b p_1:\ker a\to\ker b p 1 : ker a → ker b 使得 f 1 i a = i b p 1 f_1i_a=i_bp_1 f 1 i a = i b p 1 。同样的,存在 p 2 : ker b → ker c p_2:\ker b\to\ker c p 2 : ker b → ker c 使得 f 2 i b = i c p 2 f_2i_b=i_cp_2 f 2 i b = i c p 2 。反过来也有 q 1 : c o k e r a → c o k e r b , q 2 : c o k e r b → c o k e r c q_1:\coker a\to\coker b,q_2:\coker b\to\coker c q 1 : c o k e r a → c o k e r b , q 2 : c o k e r b → c o k e r c :
由于 i c p 2 p 1 = f 2 f 1 i a = 0 i_cp_2p_1=f_2f_1i_a=0 i c p 2 p 1 = f 2 f 1 i a = 0 而 i c i_c i c 是单的,所以 p 2 p 1 = 0 p_2p_1=0 p 2 p 1 = 0 。如果 h : D → ker b h:D\to\ker b h : D → ker b 满足 p 2 h = 0 p_2h=0 p 2 h = 0 ,那么 f 2 i b h = 0 f_2i_bh=0 f 2 i b h = 0 。根据上一个引理,存在同态 l : E → A ′ l:E\to A' l : E → A ′ 以及满同态 k : E → D k:E\to D k : E → D 使得 f 1 l = i b h k f_1l=i_bhk f 1 l = i b h k ,从而 g 1 a l = b f 1 l = b i b h k = 0 g_1al=bf_1l=bi_bhk=0 g 1 a l = b f 1 l = b i b h k = 0 。由于 g 1 g_1 g 1 是单同态,所以 a l = 0 al=0 a l = 0 。因此存在 m : E → ker a m:E\to\ker a m : E → ker a 使得 l = i a m l=i_am l = i a m ,然后有 i b p 1 m = f 1 i a m = f 1 l = i b h k i_bp_1m=f_1i_am=f_1l=i_bhk i b p 1 m = f 1 i a m = f 1 l = i b h k 。然而 i b i_b i b 又是单的,所以 p 1 m = h k p_1m=hk p 1 m = h k 。综上,对任意的 h : D → ker b , p 2 h = 0 h:D\to\ker b, p_2h=0 h : D → ker b , p 2 h = 0 ,我们找到了同态 m : E → ker a m:E\to\ker a m : E → ker a 以及满同态 k : E → D k:E\to D k : E → D 使得 p 1 m = h k p_1m=hk p 1 m = h k ,因此根据前面的引理,ker a → ker b → ker c \ker a\to\ker b\to\ker c ker a → ker b → ker c 是正合的。对偶地,c o k e r a → c o k e r b → c o k e r c \coker a\to\coker b\to\coker c c o k e r a → c o k e r b → c o k e r c 也是正合的。如下图,事实上就是说我们证明 a l = 0 al=0 a l = 0 ,从而把 l l l 拉回到 ker a \ker a ker a 上去。
第二部分: δ \delta δ 的构造
不过重点在于 δ : ker c → c o k e r a \delta:\ker c\to\coker a δ : ker c → c o k e r a 的构造。类似 R R R -模的情况,我们首先要把 ker c \ker c ker c 拉回到 B ′ B' B ′ 上,然后映射到 B B B 里面,然后在拉回到 A A A 里面。由此我们定义 p = B ′ × C ′ ker c p=B'\times_{C'}\ker c p = B ′ × C ′ ker c 为 f 2 f_2 f 2 与 i c i_c i c 的拉回,q = c o k e r a ⨿ A B q=\coker a\amalg_AB q = c o k e r a ⨿ A B 为 e a e_a e a 和 g 1 g_1 g 1 的推出。令 π : p → ker c , π ′ : p → B ′ \pi:p\to\ker c,\pi':p\to B' π : p → ker c , π ′ : p → B ′ 为投影映射,ι : c o k e r a → q , ι ′ : B → q \iota:\coker a\to q,\iota':B\to q ι : c o k e r a → q , ι ′ : B → q 为余投影映射,我们将找到一个(事实上是唯一的)同态 δ : ker c → c o k e r a \delta:\ker c\to\coker a δ : ker c → c o k e r a 使得 ι δ π = ι ′ b π ′ \iota\delta\pi=\iota'b\pi' ι δ π = ι ′ b π ′ 。(由于 ι \iota ι 是单的,π \pi π 是满的,显然 δ \delta δ 至多只能有一个)
由于 g 2 b π ′ = c i c π = 0 g_2b\pi'=ci_c\pi=0 g 2 b π ′ = c i c π = 0 ,所以存在 k : p → A ′ k:p\to A' k : p → A ′ 使得 b π ′ = g 1 k b\pi'=g_1k b π ′ = g 1 k (本来 k k k 应该是到达 ker g 2 \ker g_2 ker g 2 ,但是 g 1 g_1 g 1 是单射所以 A A A 和 i m g 1 \im g_1 i m g 1 是同构的);记 j : ker π → p j:\ker\pi\to p j : ker π → p 为内射,根据前面那个小的引理,可以知道 ker π \ker\pi ker π 和 ker f 2 \ker f_2 ker f 2 是同构的,也就是说和 i m f 2 \im f_2 i m f 2 是同构的,从而导出一个同态 h : A ′ → ker π h:A'\to\ker\pi h : A ′ → ker π 使得 π ′ j h = f 1 \pi'jh=f_1 π ′ j h = f 1 。那么 g 1 k j h = b π ′ j k = b f 1 = g 1 a g_1kjh=b\pi'jk=bf_1=g_1a g 1 k j h = b π ′ j k = b f 1 = g 1 a 。然而 g 1 g_1 g 1 单,从而 k j h = a kjh=a k j h = a ,因而 e a k j h = e a a = 0 e_akjh=e_aa=0 e a k j h = e a a = 0 。由于 h h h 满,所以 e a k j = 0 e_akj=0 e a k j = 0 。
根据拉回的定义最上面这一行是正合的,因此 π \pi π 是 j j j 的 cokernel,从而存在 δ : ker c → c o k e r a \delta:\ker c\to\coker a δ : ker c → c o k e r a 使得 δ π = e a k \delta\pi=e_ak δ π = e a k 。这样的话,ι δ π = ι e a k = ι ′ g 1 k = ι ′ b π ′ \iota\delta\pi=\iota e_ak=\iota'g_1k=\iota'b\pi' ι δ π = ι e a k = ι ′ g 1 k = ι ′ b π ′ ,满足我们想要的条件。
第三部分: 序列在 ker c \ker c ker c 和 c o k e r a \coker a c o k e r a 处的正合性
根据拉回的定义,存在一个映射 t : ker b → p t:\ker b\to p t : ker b → p 使得 π t = p 2 , π ′ t = i b \pi t=p_2,\pi't=i_b π t = p 2 , π ′ t = i b ,从而 ι δ p 2 = ι δ π t = ι ′ b π ′ t = ι ′ b i b = 0 \iota\delta p_2=\iota\delta\pi t=\iota' b\pi' t=\iota' bi_b=0 ι δ p 2 = ι δ π t = ι ′ b π ′ t = ι ′ b i b = 0 ,而 ι \iota ι 单从而 δ p 2 = 0 \delta p_2=0 δ p 2 = 0 。
接下来如果 d : F → ker c d:F\to\ker c d : F → ker c 使得 δ d = 0 \delta d=0 δ d = 0 ,那么由于 p → π ker c → 0 p\xrightarrow{\pi}\ker c\to 0 p π ker c → 0 正合,根据前面正合列的等价定义,存在满同态 m : G → F m:G\to F m : G → F 和同态 n : G → p n:G\to p n : G → p 使得 π n = d m \pi n=dm π n = d m 。由于 e a k n = δ π n = δ d m = 0 e_akn=\delta\pi n=\delta dm=0 e a k n = δ π n = δ d m = 0 ,所以正合列 A ′ → A → c o k e r a A'\to A\to\coker a A ′ → A → c o k e r a 又给出满同态 ϵ : H → G \epsilon:H\to G ϵ : H → G 和同态 ζ : H → A \zeta:H\to A ζ : H → A 使得 k n ϵ = a ζ kn\epsilon=a\zeta k n ϵ = a ζ 。因此 b π ′ n ϵ = g 1 k n ϵ = g 1 a ζ = b f 1 ζ b\pi'n\epsilon=g_1kn\epsilon=g_1a\zeta=bf_1\zeta b π ′ n ϵ = g 1 k n ϵ = g 1 a ζ = b f 1 ζ ,那么考虑 η = π ′ n ϵ − f 1 ζ : H → B ′ \eta=\pi'n\epsilon-f_1\zeta:H\to B' η = π ′ n ϵ − f 1 ζ : H → B ′ ,就有 b η = 0 b\eta=0 b η = 0 ,从而存在一个 ϑ : H → ker b \vartheta:H\to\ker b ϑ : H → ker b 使得 η = i b ϑ \eta=i_b\vartheta η = i b ϑ ,因而 i c p 2 ϑ = f 2 i b ϑ = f 2 ( π ′ n ϵ − f 1 ζ ) = i c π n ϵ = i c d m ϵ i_cp_2\vartheta=f_2i_b\vartheta=f_2(\pi'n\epsilon-f_1\zeta)=i_c\pi n\epsilon=i_cdm\epsilon i c p 2 ϑ = f 2 i b ϑ = f 2 ( π ′ n ϵ − f 1 ζ ) = i c π n ϵ = i c d m ϵ 。再次由于 i c i_c i c 是单射,就有 p 2 ϑ = d m ϵ p_2\vartheta=dm\epsilon p 2 ϑ = d m ϵ 。由于 m ϵ m\epsilon m ϵ 是满的,上面关于正合列的等价定义告诉我们 ker b → p 2 ker c → δ c o k e r a \ker b\xrightarrow{p_2}\ker c\xrightarrow{\delta}\coker a ker b p 2 ker c δ c o k e r a 是正合的。另外一半由对偶性即得。
四引理
若有下列行正合的交换图
那么:
如果 α , γ \alpha,\gamma α , γ 满而 δ \delta δ 单,则 β \beta β 满。
如果 β , δ \beta,\delta β , δ 单而 α \alpha α 满,则 β \beta β 单。
Proof
只证明第一个,另一个是对偶。首先我们可以假设 A → B A\to B A → B 是单的,否则可以把 A A A 替换成 i m ( A → B ) \im(A\to B) i m ( A → B ) ,同样的,可以假设 C ′ → D ′ C'\to D' C ′ → D ′ 是满的。然后对
这两个交换图分别应用蛇引理:对第一个交换图应用蛇引理后,由于 D ′ → D D'\to D D ′ → D 是单射而 C ′ → C C'\to C C ′ → C 是满射,所以最后一个 ker \ker ker 和第二个 c o k e r \coker c o k e r 都是 0 0 0 ,从而夹在他们中间的也只能是 0 0 0 ,i.e. ker ( C ′ → D ′ ) → ker ( C → D ) \ker(C'\to D')\to\ker(C\to D) ker ( C ′ → D ′ ) → ker ( C → D ) 是单射。
再对第二个图应用蛇引理(注意到 i m ( B → C ) = ker ( C → D ) \im(B\to C)=\ker(C\to D) i m ( B → C ) = ker ( C → D ) ),由于三个 c o k e r \coker c o k e r 里面两边的都是 0 0 0 ,中间的也必定是 0 0 0 ,从而 β : B ′ → B \beta:B'\to B β : B ′ → B 是满射。
推论(五引理) : 如果把上面这个图每行变成五个,然后竖着的五个态射中最左边是满的,最右边是单的,第二个和第四个是同构,那么中间那个也是同构。
证明:四引理的两个部分分别用一次就可以知道中间那个既单又满,所以是同构。