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一只猫猫,想成为天才少女数学家!

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同调代数学习笔记 (1)

看交换代数的时候书里提到了很多可以 generalize 的东西,于是好奇来看了交换代数。目前在看 Weibel 的 An Introduction to Homology Algebra

这部分不打算详细写所有的知识点了,写一些过程中不太懂的东西好了。

这一篇可能知识点结构没那么清楚,凑活着看吧。以及没有涉及到链复形(),下一篇再写(我不是才看了 15 页吗.jpg)

定义

预加性范畴,加性范畴

范畴相关的基本定义我就不说了x。

一个 Ab-范畴(预加性范畴)是说任意两个对象(object,这个东西好像怎么翻译的都有)之间的态射集都有构成阿贝尔群,群运算用加法表示,单位元(零态射)用 00 表示;并且这个加法还要和态射的复合分配:h(f+f)g=hfg+hfgh(f+f')g=hfg+hf'g

一个加性范畴首先一个预加性范畴,其次它要有零对象 00(同时是始对象和终对象,也就是说对任意 AAHom(A,0)\Hom(A,0)Hom(0,A)\Hom(0,A) 都有唯一元素(这里当然就一定是零态射)),并且对任意两个对象 A,BA,B 都要存在它们的乘积 A×BA\times B。(这里的乘积既是 product AΠBA\mathbin\Pi B 又是 coproduct A⨿BA\amalg B

在一个加性范畴 A\mathcal{A} 里面,态射 f:BCf:B\to C 的一个 kernel 是一个态射 i:ABi:A\to B 使得 fi=0fi=0,并且这是 universal 的(也就是说如果有另一个态射 q:AB,fq=0q:A'\to B,fq=0,那么一定存在唯一的态射 q:AAq':A'\to A 使得 q=iqq=iq',也就是这样的交换图(换句话说 ii 就是 00ff 的等化子)

把上面的图反过来的话,就得到了态射 ff 的 cokernel:即一个态射 e:CDe:C\to D 使得 ef=0ef=0 并且这个性质是 universal 的。

加性范畴中一个态射 ii 称为单的,如果 ig=0    g=0ig=0\implies g=0。一个态射 ee 称为满的,如果 he=0    h=0he=0\implies h=0(普通范畴也可以定义单和满,即 ig=ih    g=hig=ih\implies g=h 等)。接下来是原书中“容易看出”的习题:

一个态射的 kernel 必定是单的,cokernel 一定是满的。

这个证明很容易:如果 i:ABi:A\to Bf:BCf:B\to C 的 kernel 而 g:PA,ig=0g:P\to A,ig=0。那么 f(ig)=0f(ig)=0,从而存在唯一的态射 gg' 使得 ig=igig=ig'。然而 ig=i0ig=i0,因此必定有 g=0g=0。对于 cokernel 也完全一样。

可能有些人会不理解:kernel 不应该是 BB 的子集吗?cokernel 不应该是 CC 的商集吗?然而范畴论中一个对象 BB 的“子对象”就是一个单射 i:ABi:A\to B;如果存在同构 ϕ:A1A2\phi:A_1\to A_2 使得 i1=i2ϕi_1=i_2\phi 的话那么两个子对象 i1:A1Bi_1:A_1\to Bi2:A2Bi_2:A_2\to B 就会被看做“一样的”。如果我们把箭头反过来,单射改成满射,那么就定义了“商对象”。有时候我们也会把 kernel 和 cokernel 里面多出来的对象记做 kerf\ker fcokerf\coker f

阿贝尔范畴

一个阿贝尔范畴首先需要是一个加性范畴,其次:

  • 每个态射都存在 kernel 和 cokernel;
  • 每个单射都是它的 cokernel 的 kernel;
  • 每个满射都是它的 kernel 的 cokernel。

典型的阿贝尔范畴就是 RR-模范畴 mod\bf mod-RR

在一个阿贝尔范畴里面可以定义一个态射 f:BCf:B\to C imf=ker(cokerf)\im f=\ker(\coker f),并且可以把 ff 分解成一个满射 BimfB\to\im f 和一个单射 imfC\im f\to C。证明如下:

对于一个态射 f:BCf:B\to C 首先取其 coker\coker(图中未标出态射名),然后取 CcokerfC\to\coker f 这个态射的 kernel,记做 imf\im fimfC\im f\to C 的态射记做 mm。由于 kernel 都是单的,所以 mm 是单的。接下来由于 BfCcokerfB\xrightarrow{f}C\to\coker f 复合为 00。所以根据 mm 的泛性质,存在一个态射 v:Bimfv:B\to\im f 使得 f=mvf=mv。接下来只需要证明 vv 是满的。

如果 t:imfDt:\im f\to D 使得 tv=0tv=0,那么考虑 ttmm 的推出,如图所示。由于 t1f=t1mv=m1tv=m10=0t_1f=t_1mv=m_1tv=m_10=0,所以存在一个 cokerf\coker f 到推出的态射(图中虚线)使得 t1t_1 是这样一个复合。但是 mmCcokerfC\to\coker f 的核,从而我们知道 t1m=0t_1m=0,也就是说 m1t=0m_1t=0

关于推出,下面的引理说明了阿贝尔范畴中单射的推出还是单射,也就是说 mm 是单射     m1\implies m_1 是单射。从而我们就可以由 m1t=0m_1t=0 得到 t=0t=0

引理:在阿贝尔范畴中若 i:ABi:A\to B 是单射,那么它沿 f:ACf:A\to C 的推出 i1:CPi_1:C\to P 也是单射(PP 是推出的对象)。

对于推出与拉回,下面还有一个引理:

BgPfCB\xleftarrow{g}P\xrightarrow{f}CBkAhCB\xrightarrow{k}A\xleftarrow{h}C 的拉回,那么由 gg 诱导的态射 kerfkerk\ker f\to\ker k 是同构。(对偶的,如果后者是前者的推出,那么由 hh 引导的态射 cokerfcokerk\coker f\to\coker k 是同构)

正合列,一些引理

阿贝尔范畴中由对象和态射组成的一个序列 AfBgCA\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C 被称作正合的(或者说在 BB 处正合),当且仅当 imf=kerg\im f=\ker g。换句话说如果把 ff 分解开,那么序列 Af1imff2BgCA\xrightarrow{f_1}\im f\xrightarrow{f_2}B\xrightarrow{g}CDϕBgCD\xrightarrow{\phi}B\xrightarrow{g}C00 当且仅当 ϕ=f2ϕ\phi=f_2\phi'

对于正合列有一个等价的表述,描述如下:若 AfBgCA\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C 满足 gf=0gf=0,那么该序列正合当且仅当:

  • 对任意的 h:DBh:D\to B,若 gh=0gh=0,那么存在同态 l:EAl:E\to A 以及满同态 k:EDk:E\to D 使得 hk=flhk=fl

蛇引理

若有如下交换图并且其中上下两行均为正合列,那么存在正合列 kerakerbkercδcokeracokerbcokerc\ker a\to\ker b\to \ker c\xrightarrow{\delta}\coker a\to\coker b\to\coker c,其中 δ:kerccokera\delta:\ker c\to\coker a (不严格地)定义为 δ=g11bf21\delta=g_1^{-1}bf_2^{-1}

四引理

若有下列行正合的交换图

那么:

  • 如果 α,γ\alpha,\gamma 满而 δ\delta 单,则 β\beta 满。
  • 如果 β,δ\beta,\delta 单而 α\alpha 满,则 β\beta 单。

推论(五引理): 如果把上面这个图每行变成五个,然后竖着的五个态射中最左边是满的,最右边是单的,第二个和第四个是同构,那么中间那个也是同构。

证明:四引理的两个部分分别用一次就可以知道中间那个既单又满,所以是同构。