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一只猫猫,想成为天才少女数学家!

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交换代数学习笔记 (3)

继续接上文,这篇补上第二章后面一半,以及习题选(quan)做。

Chapter 2. Modules 总结

模的张量积

M,N,PM,N,PAA-摸。一个映射 f:M×NPf:M\times N\to P 被称为是 AA-双线性 AA-bilinear 的,当且仅当对于每个 xMx\in M, 映射 yf(x,y)y\mapsto f(x,y)AA-线性的,并且对于每个 yNy\in N,映射 xf(x,y)x\mapsto f(x,y) 也是 AA-线性的。

我们将要构造一个 AA-模 TT,称为 MMNN张量积 tensor product,使得所有 AA-双线性的映射 M×NPM\times N\to P 都自然地一一对应到一个 AA-线性的映射 TPT\to P。严格地说:

  • M,NM,NAA-模,那么存在一个二元组 (T,g)(T,g),其中 TTAA-模 而 g:M×NTg:M\times N\to TAA-双线性映射,且满足这样的性质:
  • 对于任意的 AA-模 PPAA-双线性映射 f:M×NPf:M\times N\to P,都存在唯一的 AA-线性映射 f:TPf':T\to P 使得 f=fgf=f'\circ g
  • 进一步地,如果 (T,g)(T,g)(T,g)(T,g') 都满足这样的性质,那么存在唯一的同构 j:TT,jg=gj:T\to T',j\circ g=g'

换句话说,(T,g)(T,g) 具有如下交换图所示的“宇宙财产泛性质/万有性质”(universal property):

事实上唯一性(两个满足条件的 TT 至多相差一个同构)是直接由 T,TT,T' 的性质导出的:如果 (T,g)(T,g)(T,g)(T',g') 都满足条件,那么存在唯一的同态 j:TTj:T\to T' 使得 g=jgg'=j\circ g,反过来也存在唯一的同态 j:TTj':T'\to T 使得 g=jgg=j'\circ g'. 这样的话我们就有 g=(jj)gg=(j'\circ j)\circ g'

但是根据 TT 的万有性质,所有满足 g=hgg=h\circ g 的映射 h:TTh:T\to T唯一的,但是 jjj'\circ jidT{\rm id}_T 又都满足,所以肯定有 jj=idTj'\circ j={\rm id}_T。反过来也有 jj=idTj\circ j'={\rm id}_{T'},所以 jj 就是一个同构。

那么接下来还需要构造这样的一个 TT。这一部分也很容易:

首先,令 C=A(M×N)C=A^{(M\times N)},即 M×NM\times N(集合笛卡尔积,忽略模结构)的所有元素生成的自由模。接下来令 DD 表示所有形如下述的元素生成的子模:

(x1+x2,y)(x1,y)(x2,y)(x,y1+y2)(x,y1)(x,y2)(ax,y)a(x,y)(x,ay)a(x,y)(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y)\\ (x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2)\\ (ax,y)-a\cdot(x,y)\\ (x,ay)-a\cdot(x,y)

然后令 TT 为商模 C/DC/D,然后记 (x,y)(x,y)TT 中的像为 xyx\otimes y。由 TT 的定义可以知道

(x1+x2)y=x1y+x2yx(y1+y2)=xy1+xy2(ax)y=x(ay)=a(xy)\begin{aligned} (x_1+x_2)\otimes y&=x_1\otimes y+x_2\otimes y\\ x\otimes(y_1+y_2)&=x\otimes y_1+x\otimes y_2\\ (ax)\otimes y=x\otimes(ay)&=a(x\otimes y) \end{aligned}

也就是说,g(x,y)=xyg(x,y)=x\otimes yM×NTM\times N\to T 的双线性映射。接下来要验证 TT 的万有性质。

ffM×NPM\times N\to P 的双线性映射,那么可以把它扩展为 fˉ:CP\bar f:C\to P。根据双线性的定义可以知道 DKerfˉD\subseteq\Ker\bar f,因此 fˉ\bar f 引导了 T=C/DT=C/D 上的线性映射 f:TPf':T\to P,且 f(xy)=f(x,y)f'(x\otimes y)=f(x,y)。由于形如 xyx\otimes y 的元素生成了 TT,所以所有 f(x,y)f(x,y) 唯一确定了 ff' 的取值。这样我们就证明了 TT 的万有性。

这样构造的 TT 记做 MANM\otimes_A N(不引起歧义的前提下有时会省略下标 AA),称为 MMNN 的张量积,它由所有 xyx\otimes y 生成。如果 (xi)iI,(yj)jJ(x_i)_{i\in I},(y_j)_{j\in J} 生成了 M,NM,N,那么 (xiyj)(i,j)I×J(x_i\otimes y_j)_{(i,j)\in I\times J} 就生成了 TT;特别的,如果 MMNN 都是有限生成的,那么 TT 也是。

:如果不明确处于哪个张量积内,那么记号 xyx\otimes y 是有歧义的。考虑若 MM,NNM'\subseteq M,N'\subseteq N 是子模,而 xM,yNx\in M',y\in N',那么有可能 xy=0MNx\otimes y=0\in M\otimes N 但是 xy0MNx\otimes y\neq0\in M'\otimes N'。比方说,若 A=Z,M=Z,N=Z/2ZA=\mathbb{Z},M=\mathbb{Z},N=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}M=2Z,N=NM'=2\mathbb{Z},N'=N。那么在 M×NM\times N2x=1(2x)=10=02\otimes x=1\otimes(2x)=1\otimes0=0。但是在 MNM'\otimes N' 里面 212\otimes1 非零。(事实上,作为 Z\mathbb{Z} 模,MMM\cong M'x2xx\mapsto 2x 给出)。

然而有如下命题:

若在 MANM\otimes_A N 中有 ixiyi=0\sum_i x_i\otimes y_i=0,那么存在有限生成子模 M0M,N0NM_0\subseteq M,N_0\subseteq N 使得在 M0AN0M_0\otimes_A N_0 中也有 ixiyi=0\sum_i x_i\otimes y_i=0

证明很简单:在 MANM\otimes_A N 中此元素非 00,也就是说在 A(M×N)A^{(M\times N)} 中它属于子模 DD,因此它是有限个 DD 的生成元的加权和。令 M0M_0 为所有 xix_i 以及这些生成元中涉及到的所有 xx 生成的子模,N0N_0 同理,就有 ixiyi=0M0AN0\sum_i x_i\otimes y_i=0\in M_0\otimes_A N_0

如果我们把张量积的出发点从双线性映射改成“多线性映射” f:M1×M2××MrPf:M_1\times M_2\times\cdots\times M_r\to P,那么我们可以得到“多重张量积” T=M1M2MrT=M_1\otimes M_2\otimes\cdots\otimes M_r,它由所有的 x1x2xr(xiMi)x_1\otimes x_2\otimes\cdots\otimes x_r\quad(x_i\in M_i) 生成。

另外我们也可以定义同态的 tensor product:若 f:MM,g:NNf:M\to M',g:N\to N',那么可以定义 h(x,y)=f(x)g(y)h(x,y)=f(x)\otimes g(y),它是 M×NMNM\times N\to M'\otimes N' 的双线性映射,因此诱导映射 MNMNM\otimes N\to M'\otimes N',记做 fgf\otimes g

如果 f:MM,g:NNf':M'\to M'',g:N'\to N'',那么显然 (ff)(gg)(f'\circ f)\otimes(g'\circ g)(fg)(fg)(f'\otimes g')\circ(f\otimes g) 在所有 xyx\otimes y 上取值相同,从而是相等的映射,即

(ff)(gg)=(fg)(fg)(f'\circ f)\otimes(g'\circ g)=(f'\otimes g')\circ(f\otimes g)

考虑直和以及张量积组合成的一些模,我们有一些“典范同构”(canonical isomorphism):

  1. MNNMM\otimes N\to N\otimes M
  2. (MN)PM(NP)MNP(M\otimes N)\otimes P\to M\otimes(N\otimes P)\to M\otimes N\otimes P
  3. (MN)P(MP)(NP)(M\oplus N)\otimes P\to(M\otimes P)\oplus(N\otimes P)
  4. AMMA\otimes M\to M

它们分别定义如下:

  1. xyyxx\otimes y\mapsto y\otimes x
  2. (xy)zx(yz)xyz(x\otimes y)\otimes z\mapsto x\otimes(y\otimes z)\mapsto x\otimes y\otimes z
  3. (x,y)z(xz,yz)(x,y)\otimes z\mapsto (x\otimes z,y\otimes z)
  4. axaxa\otimes x\mapsto ax

这些映射都可以通过张量积的万有性来定义;而它们是同构则可以通过直接构造逆映射来验证。

事实上直和也可以用万有性质描述:对于任意的同态 f:MP,g:NPf:M\to P,g:N\to P 都存在唯一的同态 h:MNPh:M\oplus N\to P 使得 f=hp1,g=hp2f=h\circ p_1,g=h\circ p_2。这里 p1:MMN,p2:NMNp_1:M\to M\oplus N,p_2:N\to M\oplus N 就是 x(x,0)x\mapsto (x,0)y(0,y)y\mapsto (0,y) 咯,画成交换图:

比方说我们构造同构 ϕ:(MN)P(MP)(NP)\phi:(M\oplus N)\otimes P\to(M\otimes P)\oplus(N\otimes P) 如下:首先定义映射

ϕˉ:(MN)×P(MP)(NP)ϕˉ(xy,z)=(xz)(yz)\begin{aligned} \bar\phi:(M\oplus N)\times P&\to (M\otimes P)\oplus(N\otimes P)\\ \bar\phi(x\oplus y,z)&=(x\otimes z)\oplus(y\otimes z) \end{aligned}

(为了不混淆这里我们用 xyx\oplus y 表示 MNM\oplus N 中的元素)不难发现 ϕˉ\bar\phi 是双线性的,因此引导同态 ϕ:(MN)P(MP)(NP)\phi:(M\oplus N)\otimes P\to(M\otimes P)\oplus(N\otimes P),并且 ϕ((xy)z)=(xz)(yz)\phi((x\oplus y)\otimes z)=(x\otimes z)\oplus(y\otimes z)。为了说明它是同构我们来构造其逆映射:定义 ψ((xz)(yw))=(x0)z+(0y)w\psi((x\otimes z)\oplus(y\otimes w))=(x\oplus0)\otimes z+(0\oplus y)\otimes w(事实上就是 p11p_1\otimes1p21p_2\otimes1 合起来定义的同态),直接验证即知 ψϕ,ϕψ\psi\circ\phi,\phi\circ\psi 都是单位映射。

接下来是书里的一个练习:

如果 A,BA,B 是两个环,MMAA-模,PPBB-模,并且 NN(A,B)(A,B)-双模(即既是 AA-模又是 BB-模,并且标量乘 AA 上元素和标量乘 BB 上元素的运算是交换的,a(xb)=(ax)ba(xb)=(ax)b)。那么 MANM\otimes_A N 自然的是 BB-模(标量乘到 NN 上),NAPN\otimes_A P 自然是 AA-模,并且

(MAN)BPMA(NBP)(M\otimes_A N)\otimes_B P\cong M\otimes_A(N\otimes_B P)

书里面没说这个 \cong 是怎么个同构,大概是说作为 (A,B)(A,B)-bimodule 同构吧(等价的就是说作为 AA-模或者作为 BB-模都同构)。证明梗概当然就是努力说明 (xAy)BzxA(yBz)(x\otimes_A y)\otimes_B z\mapsto x\otimes_A(y\otimes_B z) 这个映射是良定义的,这样对称的可以定义反过来的映射,并且显然它们互为逆映射。证明的时候要小心地看好每一步的同态是 AA-模同态,BB-模同态还是 (A,B)(A,B)-双模同态,这里不再赘述实际上是我嫌麻烦.jpg

标量限制和扩张

如果有环 A,BA,B,环同态 f:ABf:A\to B,以及 BB-模 NN,那么 NN 可以看做 AA-模:定义 ax=f(a)xa\cdot x=f(a)x 即可。(事实上这个时候 KerfAnn(N)\Ker f\subseteq\mathop{\rm Ann}(N),所以其实相当于把标量乘限制到了 BB 的一个子环上)这个 AA-模称为由 NN 进行标量限制 restriction of scalars 得到的。特别的,ff 定义出了一种将 BB 看做 AA-模的方式。

如果 NN 是有限生成 BB-模而 BB 是有限生成 AA-模,那么 NN 作为 AA-模也是有限生成的。

如果 y1yny_1\dots y_n 生成 NN(作为 BB-模)而 x1xmx_1\dots x_m 生成 BB(作为 AA-模),那么 nmnm 个乘积 xiyjx_iy_j生成 NN(作为 AA-模)。

如果 MM 是一个 AA-模,而 BB 由上述方式看做 AA-模,那么 MB=BAMM_B=B\otimes_A M 也是一个 AA-模。而且如果定义 b(bx)=(bb)x(b,bB,xM)b(b'\otimes x)=(bb')\otimes x\pod{b,b'\in B,x\in M},那么 MBM_B 就承载了这样一个 BB-模结构。这个过程被称为标量扩张 extension of scalars

如果 MM 是有限生成 AA-模,那么 MBM_B 是有限生成 BB-模。

如果 x1,,xnx_1,\dots,x_n 生成 MM 那么 1x1,,1xn1\otimes x_1,\dots,1\otimes x_n 生成 MBM_B

:我在互联网的角落里找到的 restriction and extension of scalars 的翻译仅有“纯量限制”和“纯量的扩张”。想来“标量限制”和“标量扩张”的直译也很合理。

张量积的正合性

如果我们有一个 AA-双线性映射 f:M×NPf:M\times N\to P,那么对每个 xMx\in Myf(x,y)y\mapsto f(x,y)AA-线性的,也就是说是 HomA(N,P)\Hom_A(N,P) 的一员。由于 ffxx 上也是线性的,因此就对应了一个 AA-线性映射 MHom(N,P)M\to\Hom(N,P)。反过来如果有一个 AA-线性映射 ϕ:MHomA(N,P)\phi:M\to\Hom_A(N,P),就可以以 (x,y)ϕ(x)(y)(x,y)\mapsto\phi(x)(y) 定义一个双线性映射。

这样, M×NPM\times N\to P 双线性映射就和 Hom(M,Hom(N,P))\Hom(M,\Hom(N,P)) 一一对应。另一方面它又一一对应于 Hom(MN,P)\Hom(M\otimes N,P),因此我们有典范同态

Hom(MN,P)Hom(M,Hom(N,P))\Hom(M\otimes N,P)\cong\Hom(M,\Hom(N,P))

(换句话说,N-\otimes NHom(N,)\Hom(N,-) 是一对伴随函子)

命题:若有正合列 MMM0M'\to M\to M''\to0,那么将其中所有模对 NN 取张量积并将同态对 11 (即 idN{\rm id}_N)取张量积,得到的序列 MNMNMN0M'\otimes N\to M\otimes N\to M''\otimes N\to0 仍然是正合的。

这个证明比较容易,利用到了 MMM0M'\to M\to M''\to0 正合当且仅当对任何的 PP 都有 Hom(M,P)Hom(M,P)Hom(M,P)0\Hom(M',P)\to\Hom(M,P)\to\Hom(M'',P)\to 0 正合的结论。

事实上在范畴论里可以将上述命题推广到:任意函子的左伴随(如果存在)都是右正合的(反过来也是,任意函子的右伴随(如果存在)都是左正合的)。

如果 N-\otimes N 的操作保持任意序列的正合性,那么就称 NN 是一个平坦模 flat module。这个定义等价于:

  • 所有短正合列对 NN 取张量积还是正合的(因为所有正合列可以拆分成短正合列);
  • 如果 f:MMf:M'\to M 单射,那么 f1:MNMNf\otimes 1:M'\otimes N\to M\otimes N 单射。(等价于说 0MM0\to M'\to M 正合推出 0MNMN0\to M'\otimes N\to M\otimes N 正合,从而和 N-\otimes N 右正合的结论一起可以导出上一条)
  • 如果 f:MMf:M'\to M 单射并且 M,MM,M' 有限生成,那么 f1f\otimes 1 单射。

最后一条推出倒数第二条是因为,如果在 MNM\otimes Nf(xi)yi=0\sum f(x'_i)\otimes y_i=0,那么存在 MM 的有限生成子模 M0M_0 使得它在 M0NM_0\otimes N 中也为 00。然后取 M0M'_0xix'_i 生成的 MM' 的子模,考虑 f:M0M0f:M'_0\to M_0 即可。

练习:如果 MM 是平坦 AA-模,那么经过 f:ABf:A\to B 的标量扩张得到的 MB:BAMM_B:B\otimes_A M 是平坦 AA-模。

这是因为 NBMB=NB(BAM)(NBB)AMNAMN\otimes_B M_B=N\otimes_B(B\otimes_A M)\cong (N\otimes_B B)\otimes_A M\cong N\otimes_A M。(用到了上一节的练习)。

代数

如果 f:ABf:A\to B 是环同构,那么如前面所说 BB 可以看做 AA-模。因此它既有 AA-模结构又有环结构,并且这两个结构是兼容的。这样,装备有 AA-模结构的环 BB 称为一个 AA-代数 AA-algebra。也就是说一个 AA 代数就是一个二元组 (B,f)(B,f)BB 是一个环而 f:ABf:A\to B 是环同态。

如果 AA 是一个域 KK,而 B0B\neq0,那么容易证明 ff 一定是单射。因此一个 KK-代数事实上就是一个包含 KK 作为子环的环。

AA 是任意的一个环,那么自然(且唯一)地存在一个 ZA\mathbb{Z}\to A 的同态 nn.1n\mapsto n.1nn11 相加),所以任意环都自动地是一个 Z\mathbb{Z}-代数。

如果 f:AB,g:ACf:A\to B,g:A\to C,那么 B,CB,C 是两个 AA-代数。一个 AA-代数同态 AA-algebra homomorphism 是一个环同态 h:BCh:B\to C 并且同时是 AA-模同态。事实上相当于说 hh 是满足 g=hfg=h\circ f 的环同态。

环同态 ff 被称为有限 finite 的,并且 BB 称为有限 AA-代数,当且仅当 BB 作为 AA-模是有限生成的。ff 被称为有限型 of finite type 的,而 BB 称为有限生成AA-代数,当且仅当存在一个有限子集 {x1,xn}B\{x_1\dots,x_n\}\subseteq B 使得 BB 中每个元素可以写成关于它们的、系数在 f(A)f(A) 中的多项式;换句话说存在一个从多元多项式环 A[t1,t2,,tn]A[t_1,t_2,\dots,t_n]BB同态。(也就是说,BB 中每个元素可以用 {x1,,xn}f(A)\{x_1,\dots,x_n\}\cup f(A) 通过有限次加减乘得出)

如果一个环 AA 作为 Z\mathbb{Z}-代数是有限生成的,那么称它为有限生成的环。

代数的张量积

如果 B,CB,CAA-代数,那么作为 AA-模它们有一个张量积 D=BACD=B\otimes_A C。我们现在定义 DD 上的乘法使它成为 AA-代数。

考虑 B×C×B×CDB\times C\times B\times C\to D 的映射

(b,c,b,c)(bb)(cc)(b,c,b',c')\mapsto(bb')\otimes(cc')

那么它是多重线性映射,因此导出映射 BCBCDB\otimes C\otimes B\otimes C\to D,从而就得到一个映射 DDDD\otimes D\to D,然后再返回去得到 AA-双线性映射

μ:D×DDμ(bc,bc)=(bb)(cc)\begin{aligned} \mu:D\times D&\to D\\ \mu(b\otimes c,b'\otimes c')&=(bb')\otimes(cc') \end{aligned}

μ\mu 作为 DD 上的乘法即可。

由于 μ\mu 是双线性的(满足分配律),并且乘法交换律以及结合律也是显然的,而且具有单位元 111\otimes1,所以它是一个交换环。为了让它成为环同态,只需要定义 h:ADh:A\to Dh(x)=f(x)1=1g(x)h(x)=f(x)\otimes1=1\otimes g(x) 即可(原书此处有笔误,写成了 f(x)g(x)f(x)\otimes g(x)

习题选(quan)做

这次是真的全做,除了最后五道题我不知道什么叫做 Tor functor。

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