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一只猫猫,想成为天才少女数学家!

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交换代数学习笔记 (2)

接上文,来总结一下第二章(Modules)学的东西。感觉很可能写不完所以说不定会再开一篇。

Chapter 2. Modules 总结

模,模同态

固定一个环 AA。一个 AA-模 AA-module 是一个阿贝尔群 MM,且 AA 在其上有一个线性的作用。换句话说,一个 AA-模是一个二元组 (M,μ)(M,\mu),其中 MM 是一个阿贝尔群,而 μ\mu 是一个 A×MMA\times M\to M 的映射,满足:

a(x+y)=ax+ay(a+b)x=ax+bx(ab)x=a(bx)1x=x\begin{aligned} a(x+y)&=ax+ay\\ (a+b)x&=ax+bx\\ (ab)x&=a(bx)\\ 1x&=x \end{aligned}

其中 a,bA;x,yMa,b\in A;x,y\in M。或者等价的,一个阿贝尔群 MM 以及一个 AE(M)A\to E(M) 的环同态(E(M)E(M)MM 的自同态环)。

AA 本身,或者更一般的, AA 上的任意理想 a\mathfrak{a} 都可以看做 AA-模。

一个 AA-模之间的映射 f:MNf:M\to NAA-模同态 AA-module homomorphism(或者说是 AA-线性 AA-linear 的)当且仅当 f(x+y)=f(x)+f(y);f(ax)=af(x)f(x+y)=f(x)+f(y);f(ax)=a\cdot f(x)。换句话说 ff 是一个群同态,并且它和 AA 中元素的作用均交换。AA-模同态的复合仍然是 AA-模同态。

特别的,如果 A=kA=k 是一个域,那么 kk-模就等价于 kk-线性空间,kk-模同态就等价于 kk-线性映射。

固定 AA-模 N,MN,M,则 NMN\to M 的所有同态也构成一个 AA-模:只需定义 (f+g)(x)=f(x)+g(x);(af)(x)=af(x)(f+g)(x)=f(x)+g(x);(af)(x)=a\cdot f(x) 即可。这个模记做 HomA(N,M)\Hom_A(N,M);不引起歧义的时候有时候会省去下标 AA

同态 u:MMu:M'\to M 以及 v:NNv:N\to N' 分别引导同态

uˉ:Hom(M,N)Hom(M,N);vˉ:Hom(M,N)Hom(M,N)\bar u:\Hom(M,N)\to\Hom(M',N);\qquad\bar v:\Hom(M,N)\to\Hom(M,N')

定义如下:

uˉ(f)=fu;vˉ(f)=vf\bar u(f)=f\circ u;\qquad\bar v(f)=v\circ f

对任意的 MM 存在一个自然的同构 Hom(A,M)M\Hom(A,M)\cong M,因为任意同态 f:AMf:A\to M 唯一的由 f(1)f(1) 确定。

子模与商模

如果 AA-模 MM 的一个子群 MM' 也构成一个 AA-模(在标量乘下封闭),那么称之为 MM 的一个子模 submodule。此时商群 M/MM/M'a(x+M)=ax+Ma(x+M')=ax+M' 的意义下也构成 AA-模,称为 MMMM'商模 quotient moduleMM/MM\to M/M' 的自然的变换(将每个元素映射到它所在的陪集)同时也是 AA-模同态。

对任意 MM 的子模 MM',存在一个从 M/MM/M' 的子模到 MM 中包含 MM' 的子模的一一对应。(这句话哪里都有,群,环(理想),模…)

如果 f:MNf:M\to NAA-模同态,那么 ff kernel 定义为 Kerf={xMf(x)=0}\Ker f=\{x\in M\mid f(x)=0\},它是 MM 的一个子模。

ff 的**像** *image* 为 Imf={f(x)xM}\Image f=\{f(x)\mid x\in M\},是 NN 的一个子模。其**余核** *cokernel*(有的地方也翻译成“上核”?~~反正就是 co-核就对了~~)定义为 N/ImfN/\Image f

如果 MKerfM'\subseteq\Ker f 是一个子模,那么 ff 可以引导出同态 fˉ:M/MN\bar f:M/M'\to N,定义为 fˉ(x+M)=f(x)\bar f(x+M')=f(x),此时 fˉ\bar f 的核为 Kerf/M\Ker f/M'。特别的,取 M=KerfM'=\Ker f,就得到一个 AA-模同构

M/KerfImfM/\Ker f\cong\Image f

子模上的运算

模的运算和理想类似:对于一族 MM 的子模 (Mi)iI(M_i)_{i\in I},可以定义它们的和 iIMi\sum_{i\in I} M_i(包含所有形如 iIxi\sum_{i\in I} x_i 的元素,其中 xiMix_i\in M_i 且只有至多有限项非零),它们的交 iIMi\bigcap_{i\in I}M_i。两者都也是 MM 的子模。

另外,如果两个子模之间有包含关系,那么可以把其中一个看做另一个的子模然后求商模。有如下两个命题成立:

  • LMNL\supseteq M\supseteq NAA-模,则(L/N)/(M/N)L/M(L/N)/(M/N)\cong L/M
  • M1,M2M_1,M_2 都是 MM 的子模,则(M1+M2)/M1M2/(M1M2)(M_1+M_2)/M_1\cong M_2/(M_1\cap M_2)

对于第一个,构造满同态 ϕ:L/NL/M;ϕ(x+N)=x+M\phi:L/N\to L/M;\phi(x+N)=x+M,则其核为 M/NM/N,因此命题成立。

对于第二个,构造满同态 θ:M2(M1+M2)/M1;θ(x)=x+M1\theta:M_2\to(M_1+M_2)/M_1;\theta(x)=x+M_1,那么其核为 M1M2M_1\cap M_2,命题成立。\square

一般地我们没办法定义两个子模的积,但是我们可以定义子模和理想的积 aM\mathfrak{a}M,即所有形如 iaixi  (aia,xiM)\sum_i a_ix_i\;(a_i\in\mathfrak{a},x_i\in M) 的元素构成的子模。

对两个子模 N,PMN,P\subseteq M,定义 (N:P)(N:P) 为所有使得 xPNxP\subseteq N 的元素 xAx\in A,它是一个 AA 的理想。特别的,(0,M)(0,M) 是所有使得 xM=0xM=0 的元素 xAx\in A,称为 MM零化子 anhilator,记做 Ann(M)\mathop{\rm Ann}(M)。如果 aAnn(M)\mathfrak{a}\subseteq\mathop{\rm Ann}(M),则 MM 也可以看做一个 A/aA/\mathfrak{a}-模。

如果 Ann(M)=0\mathop{\rm Ann}(M)=0,那么称 MM忠实 faithful 的。如果 Ann(M)=a)\mathop{\rm Ann}(M)=\mathfrak{a}),那么 MM 可以看做一个忠实 A/aA/\mathfrak{a}-模。

模的直和与直积

如果 M,NM,NAA-模,它们的直和 direct sum MNM\oplus N 定义为其笛卡尔积构成的 AA-模,加法和标量乘法均逐项进行。更一般的,如果 (Mi)iI(M_i)_{i\in I} 是一族 AA-模,那么它们的直和 iIMi\bigoplus_{i\in I}M_i 定义为所有 (xi)iI(x_i)_{i\in I} 构成的模,其中 xiMix_i\in M_i 且只有有限项非零。

如果我们把“只有有限项非零”的限制去掉,那么得到的 AA-模称为 (Mi)iI(M_i)_{i\in I}直积 direct product,记做 iIMi\prod_{i\in I}M_i。于是直和与直积在有限维的情况下是相同的,无限维则不一定。

如果环 AA 可以写作直积 i=1nAi\prod_{i=1}^nA_i,那么所有形如

(0,0,,0,ai,0,,0)(0,0,\dots,0,a_i,0,\dots,0)

其中 aiAia_i\in A_i 的元素,形成了 AA 的一个理想 ai\mathfrak{a}_i(并且是一个主理想,其生成元 eie_i 是一个幂等元(ei2=eie_i^2=e_i)),且 AA 看做 AA-模可以写作所有 ai\mathfrak{a}_i 的直和。并且若令 bi=jiai\mathfrak{b}_i=\bigoplus_{j\neq i}\mathfrak{a_i},那么 AiA/biA_i\cong A/\mathfrak{b}_i,因此 Ai=1n(A/bi)A\cong\prod_{i=1}^n(A/\mathfrak{b}_i)

有限生成模

如果一个 AA-模 MM 可以由有限个元素生成(M=i=1n(xi)M=\sum_{i=1}^n(x_i)),那么称它为 有限生成 finitely generated 的。如果一个 AA-模 MM 同构于 iIMi\bigoplus_{i\in I}M_i 的形式并且每个 MiM_i 同构于 AA,就称它为自由 free 的,有时记做 A(I)A^{(I)}

有限生成的自由模都长成 i=1nA\bigoplus_{i=1}^n A 的样子,记做 AnA^n。(以 A0A^0 表示平凡模 00

命题:一个模是有限生成的当且仅当它是某个 AnA^n 的商模。

Mark: 本节后面的几个命题咱不太理解用来做什么。

命题:如果 MM 是有限生成的,ϕ:MM\phi:M\to M 是模自同态并且 ϕ(M)aM\phi(M)\subset\mathfrak{a}M,那么 ϕ\phi 满足一个长成这样的等式

ϕn+a1ϕn1++an=0\phi^n+a_1\phi^{n-1}+\dots+a_n=0

其中 aiaa_i\in\mathfrak{a}

推论:若 aM=M\mathfrak{a}M=M,那么存在一个 x1(moda)x\equiv1\pmod{\mathfrak{a}} 使得 xM=0xM=0。取 ϕ(x)=x\phi(x)=xx=1+a1+a2++anx=1+a_1+a_2+\dots+a_n 即可。

命题(中山正引理 Nakayama’s Lemma):如果 MM 是有限生成的,aR\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{R} 是包含在 Jacobson 根里的一个理想,那么 aM=M\mathfrak{a}M=M 蕴含 M=0M=0。(存在 x1(modR)x\equiv1\pmod{\mathfrak{R}} 使得 xM=0xM=0,但是这样的 xx 都是单位。)

推论:M,aM,\mathfrak{a} 如上个命题所述,NMN\subseteq M 使得 M=aM+NM=\mathfrak{a}M+N,则 M=NM=N。(应用到 M/NM/N 中即可)

推论:若 AA 是局部环,m\mathfrak{m} 是其极大理想而 k=A/mk=A/\mathfrak{m} 是其剩余域,MM 是有限生成 AA-模,则 M/mMM/\mathfrak{m}M 显然由 m\mathfrak{m} 零化,因此是一个 kk-模(kk-线性空间),且显然是有限维的。此时若 x1,,xnx_1,\dots,x_nM/mMM/\mathfrak{m}M 中的像形成线性空间的一组基,那么 x1,xnx_1,\dots x_n 生成 MM。(若令 NN 表示 xix_i 生成的子模,那么有 N+mM=MN+\mathfrak{m}M=M。)

正合列

hmm,终于写到正合列了噩梦的开始

一个由 AA-模和 AA-模同态构成的序列

Mi1fiMifi+1Mi+1\cdots\xrightarrow{}M_{i-1}\xrightarrow{f_i}M_i\xrightarrow{f_{i+1}}M_{i+1}\xrightarrow{}\cdots

称为正合 exact 的,如果 Imfi=Kerfi+1\Image f_i=\Ker f_{i+1}。特别的:

  • 0MfM0\xrightarrow{}M'\xrightarrow{f}M 正合当且仅当 ff 是单射;
  • MgM0M\xrightarrow{g}M'\xrightarrow{}0 正合当且仅当 gg 是满射;
  • 0MfMgM00\xrightarrow{}M'\xrightarrow{f}M\xrightarrow{g}M''\xrightarrow{}0 正合当且仅当 ff 是单射、gg 是满射,且 gg 诱导了 Coker(f)\Coker(f)MM'' 的同构。

最后这种正合列叫做短正合列 short exact sequence。任意的正合列都可以拆成短正合列:定义 Ni=Imfi=Kerfi+1N_i=\Image f_i=\Ker f_{i+1},则 0NiMiNi+100\xrightarrow{}N_i\xrightarrow{}M_i\xrightarrow{}N_{i+1}\xrightarrow{}0 对于每个 ii 都是正合的(反过来也对)。

命题:

  1. MuMvM0M'\xrightarrow{u}M\xrightarrow{v}M''\xrightarrow{}0 正合当且仅当对于任意的 AA-模 NN,下述序列正合: 0Hom(M,N)vˉHom(M,N)uˉHom(M,N)0\xrightarrow{}\Hom(M'',N)\xrightarrow{\bar v}\Hom(M,N)\xrightarrow{\bar u}\Hom(M',N)
  2. 0NuNvN0\xrightarrow{}N'\xrightarrow{u}N\xrightarrow{v}N'' 正合当且仅当对于任意的 AA-模 MM,下述序列正合: 0Hom(M,N)uˉHom(M,N)vˉHom(M,N)0\xrightarrow{}\Hom(M,N')\xrightarrow{\bar u}\Hom(M,N)\xrightarrow{\bar v}\Hom(M,N'')

这个命题的四个部分“都是简单的练习题”。

hm,我好像还没证过,我来试试。

命题(“蛇引理”Snake Lemma):

如果我们有这样一张交换图(i.e. bf=fa,cg=gbb\circ f=f'\circ a,c\circ g=g'\circ b):

其中 A,B,C,A,B,CA,B,C,A',B',C' 都是 AA-模,a,b,c,f,g,f,ga,b,c,f,g,f',g' 都是 AA-模同态,并且上下两行都是正合列,则存在这样一个正合列:

0KerafˉKerbgˉKercdCokerafˉCokerbgˉCokerc00\rightarrow\Ker a\xrightarrow{\bar f}\Ker b\xrightarrow{\bar g}\Ker c\xrightarrow{d}\Coker a\xrightarrow{\bar f'}\Coker b\xrightarrow{\bar g'}\Coker c\rightarrow0

这里 Ker\Ker 之间的映射是 f,gf,g 的限制(根据交换性易证 f(Kera)Kerbf(\Ker a)\subseteq\Ker b etc.),而 Coker\Coker 之间的映射由 f,gf',g' 诱导而出(同样易证 f(Ima)Imbf'(\Image a)\subseteq\Image b etc.)。

事实上左上和右下的 00 可以省掉,相应的结果中左右的 00 也会省掉。

中间的这个 dd 称作边缘同态 boundary homomorphism,它的构造以及正合列的证明如下:

这样我们就证明了蛇引理。

CC 表示一族 AA-模,λ\lambda 为一个 CZC\to\mathbb{Z} 的函数(或者更一般地,到任意阿贝尔群)。如果对任意的短正合列 0MMM00\to M'\to M\to M''\to 0 都有 λ(M)λ(M)+λ(M)=0\lambda(M')-\lambda(M)+\lambda(M'')=0,就称 λ\lambda加性 additive 的。

举例:若 AA 是一个域 kkCC 是所有的有限维 kk-向量空间,λ(M)=M\lambda(M)=M 的维数,则 λ\lambda 是加性的。

命题:若 λ\lambda 如上定义,0M0M1Mn00\to M_0\to M_1\to\dots\to M_n\to0 正合,那么

i=0n(1)iλ(Mi)=0\sum_{i=0}^n(-1)^i\lambda(M_i)=0

证明:把它拆成 n+1n+1 个短正合列 0NiMiNi+10\to N_i\to M_i\to N_{i+1},注意到 λ(Mi)=λ(Ni)+λ(Ni+1)\lambda(M_i)=\lambda(N_i)+\lambda(N_{i+1}),因此交错求和结果为 00

PS:看上去这个证明要求 CC 中的模的子模还在 CC 中。

本篇 Blog 暂时到此为止吧,第二章的知识比第一章困难多了…

下一篇继续写张量积相关内容(下一篇大约要过几天了,不做习题的情况下根本不明白这些东西是用来做什么的)。qwq