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交换代数学习笔记 (1)

最近在读 Atiyah 的《交换代数导论》(Introduction to Commutative Algebra)。第一章 Rings and Ideals 不难,有抽代基础的话应该很容易。第二章我刚刚看完,有的地方还没太理解(接下来刷一刷习题好了)。这一篇 Blog 是第一章的总结。

既然是笔记,那我还是大概把定义总结一下好了。

Chapter 1. Rings and Ideals 总结

环和理想

定义一个 ring 是同时具有加法阿贝尔群和乘法半群结构,并且满足左右分配律 (x+y)z=xz+yz;x(y+z)=xy+xz(x+y)z=xz+yz;x(y+z)=xy+xz 的集合。本书中只考虑(乘法)交换并且有(乘法)单位元的环。

一个环同态 ring homomorphism 是环之间保持加法、乘法、单位元的映射。显然两个环同态的复合还是环同态。

SSRR 的**子环** *subring* 是说 SSRR 中一个关于加法和乘法封闭的、包含单位元的子集。 AA 的一个**理想** *ideal* a\mathfrak{a} 是一个 AA 的对加法封闭的非空子集,且 AaaA\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{a}. 给定一个理想,那么所有 a\mathfrak{a} 的陪集(*i.e.* AA 中的元素在 xy    xyax\sim y\iff x-y\in\mathfrak{a} 这样的等价关系下形成的等价类)构成一个环,称为**商环** *quoetient Ring* A/aA/\mathfrak{a}AA 的所有包含 a\mathfrak{a} 的理想与 A/aA/\mathfrak{a} 的所有理想一一对应。

AAxx 与某个非零元素的乘积为 00,则称 xx零因子 zero-divisor。不包含非零零因子的环叫做整环 integral domain

如果一个元素 xx 的某个幂为 00i.e. 存在 n>0n>0 使得 xn=0x^n=0),则称其为幂零的 nilpotent

如果对某个元素 xx 存在 yy 使得 xy=1xy=1,那么 xx 称为一个单位 unityyxx 唯一确定,记做 x1x^{-1}AA 的所有单位构成一个乘法阿贝尔群。

固定 xAx\in A,所有 ax  (aA)ax\;(a\in A) 构成 AA 的一个理想,称为主理想 principal ideal,记做 (a)(a)xx 是单位当且仅当 (x)=A=(1)(x)=A=(1)零理想 zero ideal (0)(0) 通常记做 00

素理想和极大理想

AA 的每个非零元素都是单位,那么称其为一个 field。显然域都是整环。其等价条件包括:

  • AA 仅包含 0,(1)0,(1) 两个理想。
  • 对任意的非零环 BB,所有 ABA\to B 的环同态都是单射。
AA 中的一个理想 p\mathfrak{p} 被称为**素的** *prime* 当且仅当 p(1)\mathfrak{p}\neq(1) 且对任意的 xypxy\in\mathfrak{p},都有 xpx\in\mathfrak{p} 或者 ypy\in\mathfrak{p} 至少之一成立。一个理想 m\mathfrak{m} 称为**极大的** *maximal* 当且仅当 m(1)\mathfrak{m}\neq(1) 并且不存在理想 a\mathfrak{a} 使得 ma(1)\mathfrak{m}\subsetneq\mathfrak{a}\subsetneq(1)。或者等价地:
  • p\mathfrak{p} 是素理想     A/p\iff A/\mathfrak{p} 是整环。
  • m\mathfrak{m} 是极大理想     A/m\iff A/\mathfrak{m} 是域。

若无特殊说明,接下来 p,m\mathfrak{p,m} 均分别指代某个素理想/极大理想。

于是显然极大理想都是素的,反过来不一定成立。

利用佐恩引理(等价于选择公理)可以证明:每个环 AA 至少拥有一个极大理想。推论:

  • 对每个理想 a(1)\mathfrak{a}\neq(1),都存在一个包含它的极大理想。(将上述结论应用到 A/aA/\mathfrak{a} 上即可)。
  • AA 的每个非单位 xx,都存在一个包含它的极大理想(将上一条应用到 (x)(x) 上)。

如果 AA 仅包含一个极大理想 m\mathfrak{m},那么称 AA局部环 local ringk=A/mk=A/\mathfrak{m} 叫做 AA剩余域 residue field

如果整环 AA 的所有理想都是主理想,那么称之为主理想整环 principal integral domain。这样的环里所有素理想都是极大的。

R\mathfrak{R} 表示 AA 中所有幂零元素构成的子集,那么它是一个理想并且 A/RA/\mathfrak{R} 不包含非零的幂零元。R\mathfrak{R} 被称作 AA幂零根 nilradical。可以证明它同时也是 AA 中所有素理想的交。

类似的,AA 中所有极大理想的交 R\mathfrak{R} 称为 Jacobson根 Jacobson radicalxR    x\in\mathfrak{R}\iff 对于任意的yAy\in A1xy1-xy 都是单位。

A1,A2,,AnA_1,A_2,\dots,A_n 的有限直积 direct product i=1nAi\prod_{i=1}^n A_i 定义为所有 (x1,,xn)  (xiAi)(x_1,\dots,x_n)\;(x_i\in A_i) 构成的环,加法和乘法定义为逐项相加/相乘。

理想的运算

如果 a,b\mathfrak{a,b} 都是 AA 的理想,那么它们的和 a+b\mathfrak{a}+\mathfrak{b} 也是 AA 的理想,并且是最小的同时包含两者的理想。更一般的可以定义 iIai\sum_{i\in I}\mathfrak{a}_i,由所有的 iIxi\sum_{i\in I}x_i 构成,其中 xiaix_i\in\mathfrak{a}_i 并且只有有限个 xix_i 非零。这是包含所有 ai\mathfrak{a}_i 的最小理想。

对于 AA 的一族理想 (ai)iI(\mathfrak{a}_i)_{i\in I},它们的交 iIai\bigcap_{i\in I}\mathfrak{a}_i 也是 AA 的理想。

理想的乘积 ab\mathfrak{ab} 定义为所有的 xy  (xa,yb)xy\;(x\in\mathfrak{a},y\in\mathfrak{b}) 生成的理想,i.e. 所有形如 ixiyi\sum_i x_iy_i 的有限和。同样的我们可以定义任意有限的一族理想的乘积。

例子:在 Z\mathbb Z 里所有理想都是主理想 (n)(n)。此时有 (n)+(m)=(gcd(n,m)),(n)(m)=(lcm(n,m)),(n)(m)=(nm)(n)+(m)=(\gcd(n,m)),(n)\cap(m)=(\mathop{\rm lcm}(n,m)),(n)(m)=(nm)

这三种运算都是交换、结合的,并且有分配率 a(b+c)=ab+ac\mathfrak{a(b+c)=ab+ac}。在 Z\mathbb Z 中我们有 (a+b)(ab)=ab\mathfrak{(a+b)(a\cap b)=ab},但是一般地我们只知道右边包含左边。这可以推出 ab=ab     a+b=(1)\mathfrak{a\cap b=ab\iff\ a+b}=(1)

a+b=(1)\mathfrak{a+b}=(1) 时我们称 a,b\mathfrak{a,b} 互素 coprime(或者“互极大comaximal)。

对于一列理想 a1,,an\mathfrak{a}_1,\dots,\mathfrak{a}_n,定义一个映射

ϕ:Ai=0n(A/ai)\phi:A\to\prod_{i=0}^n(A/\mathfrak{a}_i)

ϕ(x)=(x+a1,,x+an)\phi(x)=(x+\mathfrak{a}_1,\dots,x+\mathfrak{a}_n),那么:

  • ai\mathfrak{a}_i 两两互素,则 ai=ai\prod\mathfrak{a}_i=\bigcap\mathfrak{a}_i
  • ϕ\phi 是满射     ai\iff\mathfrak{a}_i 两两互素。
  • ϕ\phi 是单射     iai=0\iff\bigcap_i\mathfrak{a}_i=0

此外有命题:

  • ai=1npi\mathfrak{a}\subseteq\bigcup_{i=1}^n\mathfrak{p}_i,那么存在一个 ii 使得 api\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{p}_i
  • i=1naip\bigcap_{i=1}^n\mathfrak{a}_i\subseteq\mathfrak{p},那么存在一个 ii 使得 aip\mathfrak{a}_i\subseteq\mathfrak{p}。如果 i=1nai=p\bigcap_{i=1}^n\mathfrak{a}_i=\mathfrak{p},那么存在一个 ai=p\mathfrak{a}_i=p

定义两个理想的 ideal quotient (a:b)(\mathfrak{a}:\mathfrak{b}) 为所有使得 xbax\mathfrak{b}\subseteq\mathfrak{a} 的元素构成的理想。特别的,(0:b)(0:\mathfrak{b}) 称为 b\mathfrak{b}零化子 annihilator,记做 Ann(b)\mathop{\rm Ann}(\mathfrak{b})

一个理想 a\mathfrak{a} radical 定义为 r(a)={xAxna for some n>0}r(\mathfrak{a})=\{x\in A\mid x^n\in\mathfrak{a}\text{ for some } n>0\}。如果 ϕ:A(A/a)\phi:A\to(A/\mathfrak{a}) 是标准同态,那么 r(a)=ϕ1(RA/a)r(\mathfrak{a})=\phi^{-1}(\mathfrak{R}_{A/\mathfrak{a}}) 也是 AA 的理想。

某些记号中将 r(a)r(\mathfrak{a}) 记做 a\sqrt{\mathfrak{a}}

命题:

  • a(a:b);  (a:b)ba;  ((a:b):c)=(a:bc)\mathfrak{a}\subseteq(\mathfrak{a}:\mathfrak{b});\;(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})\mathfrak{b}\subseteq\mathfrak{a};\;((\mathfrak{a}:\mathfrak{b}):\mathfrak{c})=(\mathfrak{a}:\mathfrak{bc})
  • (iai:b)=i(ai:b)\left(\bigcap_i\mathfrak{a}_i:\mathfrak{b}\right)=\bigcap_i(\mathfrak{a}_i:\mathfrak{b})
  • (a:ibi)=i(a:bi)\left(\mathfrak{a}:\sum_i\mathfrak{b}_i\right)=\bigcap_i(\mathfrak{a}:\mathfrak{b}_i)
  • r(a)a;  r(r(a))=r(a);  r(ab)=r(ab)=r(a)r(b)r(\mathfrak{a})\supseteq\mathfrak{a};\;r(r(\mathfrak{a}))=r(\mathfrak{a});\;r(\mathfrak{ab})=r(\mathfrak{a\cap b})=r(\mathfrak{a})\cap r(\mathfrak{b})
  • r(a)=(1)    a=(1);  r(a+b)=r(r(a)+r(b))r(\mathfrak{a})=(1)\iff\mathfrak{a}=(1);\;r(\mathfrak{a+b})=r(r(\mathfrak{a})+r(\mathfrak{b}))
  • 对任意正整数 nnr(pn)=pr(\mathfrak{p}^n)=\mathfrak{p}
  • r(a)r(\mathfrak{a}) 是所有包含 a\mathfrak{a} 的素理想的交。

理想的扩张与收缩

f:ABf:A\to B 为一个环同态。如果 aA\mathfrak{a}\subseteq A 是一个理想,那么 f(a)f(\mathfrak{a}) 不一定是理想。定义 a\mathfrak{a}扩张 extension ae\mathfrak{a}^eBB 中由 f(a)f(\mathfrak{a}) 生成的理想。

如果 bB\mathfrak{b}\subseteq B 是一个理想,那么 f1(b)f^{-1}(\mathfrak{b}) 也一定是 AA 的理想,称为 b\mathfrak{b}收缩 contraction,记做 bc\mathfrak{b}^c。如果 b\mathfrak{b} 是素的,那么 bc\mathfrak{b}^c 也是素的。反过来如果 a\mathfrak{a} 是素的那么 ae\mathfrak{a}^e 不一定是素的。对于扩张与收缩有以下命题:

  • aaec,bbce\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{a}^{ec},\mathfrak{b}\supseteq\mathfrak{b}^{ce}
  • ae=aece,bcbcec\mathfrak{a}^e=\mathfrak{a}^{ece},\mathfrak{b}^c\supseteq\mathfrak{b}^{cec}
  • 如果令 C={bcbB is an ideal},E={aeaA is an ideal}C=\{\mathfrak{b}^c\mid\mathfrak{b}\subseteq B\text{ is an ideal}\},E=\{\mathfrak{a}^e\mid\mathfrak{a}\subseteq A\text{ is an ideal}\},那么就有 C={aaec=a},E={bbce=b}C=\{\mathfrak{a}\mid \mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{a}\},E=\{\mathfrak{b}\mid\mathfrak{b}^{ce}=\mathfrak{b}\},并且 CCEE 由扩张和收缩形成一一对应。

在特殊情况下,如果 ff 是满射,那么 ae=f(a),bce=b,aec=a+Kerf\mathfrak{a}^e=f(\mathfrak{a}),\mathfrak{b}^{ce}=\mathfrak{b},\mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{a}+\Ker fff 是单射的情况很复杂。

理想的五种运算(加法,乘法,交,商,根)的扩张与收缩也有一定性质(等于,包含,包含于),这里暂不赘述。

习题选(quan)做

我目前也做了一些第一章练习题,附下:

第一章习题选做-LaTeX 源码 第一章习题选做-PDF