最近在读 Atiyah 的《交换代数导论》(Introduction to Commutative Algebra )。第一章 Rings and Ideals 不难,有抽代基础的话应该很容易。第二章我刚刚看完,有的地方还没太理解(接下来刷一刷习题好了)。这一篇 Blog 是第一章的总结。
既然是笔记,那我还是大概把定义总结一下好了。
Chapter 1. Rings and Ideals 总结
环和理想
定义一个环 ring 是同时具有加法阿贝尔群和乘法半群结构,并且满足左右分配律 ( x + y ) z = x z + y z ; x ( y + z ) = x y + x z (x+y)z=xz+yz;x(y+z)=xy+xz ( x + y ) z = x z + y z ; x ( y + z ) = x y + x z 的集合。本书中只考虑(乘法)交换并且有(乘法)单位元的环。
一个环同态 ring homomorphism 是环之间保持加法、乘法、单位元的映射。显然两个环同态的复合还是环同态。
S S S 是
R R R 的**子环** *subring* 是说
S S S 是
R R R 中一个关于加法和乘法封闭的、包含单位元的子集。
A A A 的一个**理想** *ideal*
a \mathfrak{a} a 是一个
A A A 的对加法封闭的非空子集,且
A a ⊆ a A\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{a} A a ⊆ a . 给定一个理想,那么所有
a \mathfrak{a} a 的陪集(*i.e.*
A A A 中的元素在
x ∼ y ⟺ x − y ∈ a x\sim y\iff x-y\in\mathfrak{a} x ∼ y ⟺ x − y ∈ a 这样的等价关系下形成的等价类)构成一个环,称为**商环** *quoetient Ring*
A / a A/\mathfrak{a} A / a 。
A A A 的所有包含
a \mathfrak{a} a 的理想与
A / a A/\mathfrak{a} A / a 的所有理想一一对应。
若 A A A 中 x x x 与某个非零元素的乘积为 0 0 0 ,则称 x x x 为零因子 zero-divisor 。不包含非零零因子的环叫做整环 integral domain 。
如果一个元素 x x x 的某个幂为 0 0 0 (i.e. 存在 n > 0 n>0 n > 0 使得 x n = 0 x^n=0 x n = 0 ),则称其为幂零的 nilpotent 。
如果对某个元素 x x x 存在 y y y 使得 x y = 1 xy=1 x y = 1 ,那么 x x x 称为一个单位 unit ,y y y 由 x x x 唯一确定,记做 x − 1 x^{-1} x − 1 。A A A 的所有单位构成一个乘法阿贝尔群。
固定 x ∈ A x\in A x ∈ A ,所有 a x ( a ∈ A ) ax\;(a\in A) a x ( a ∈ A ) 构成 A A A 的一个理想,称为主理想 principal ideal ,记做 ( a ) (a) ( a ) 。x x x 是单位当且仅当 ( x ) = A = ( 1 ) (x)=A=(1) ( x ) = A = ( 1 ) 。零理想 zero ideal ( 0 ) (0) ( 0 ) 通常记做 0 0 0 。
素理想和极大理想
若 A A A 的每个非零元素都是单位,那么称其为一个域 field 。显然域都是整环。其等价条件包括:
A A A 仅包含 0 , ( 1 ) 0,(1) 0 , ( 1 ) 两个理想。
对任意的非零环 B B B ,所有 A → B A\to B A → B 的环同态都是单射。
A A A 中的一个理想
p \mathfrak{p} p 被称为**素的** *prime* 当且仅当
p ≠ ( 1 ) \mathfrak{p}\neq(1) p = ( 1 ) 且对任意的
x y ∈ p xy\in\mathfrak{p} x y ∈ p ,都有
x ∈ p x\in\mathfrak{p} x ∈ p 或者
y ∈ p y\in\mathfrak{p} y ∈ p 至少之一成立。一个理想
m \mathfrak{m} m 称为**极大的** *maximal* 当且仅当
m ≠ ( 1 ) \mathfrak{m}\neq(1) m = ( 1 ) 并且不存在理想
a \mathfrak{a} a 使得
m ⊊ a ⊊ ( 1 ) \mathfrak{m}\subsetneq\mathfrak{a}\subsetneq(1) m ⊊ a ⊊ ( 1 ) 。或者等价地:
p \mathfrak{p} p 是素理想 ⟺ A / p \iff A/\mathfrak{p} ⟺ A / p 是整环。
m \mathfrak{m} m 是极大理想 ⟺ A / m \iff A/\mathfrak{m} ⟺ A / m 是域。
若无特殊说明,接下来 p , m \mathfrak{p,m} p , m 均分别指代某个素理想/极大理想。
于是显然极大理想都是素的,反过来不一定成立。
利用佐恩引理(等价于选择公理)可以证明:每个环 A A A 至少拥有一个极大理想。推论:
对每个理想 a ≠ ( 1 ) \mathfrak{a}\neq(1) a = ( 1 ) ,都存在一个包含它的极大理想。(将上述结论应用到 A / a A/\mathfrak{a} A / a 上即可)。
对 A A A 的每个非单位 x x x ,都存在一个包含它的极大理想(将上一条应用到 ( x ) (x) ( x ) 上)。
如果 A A A 仅包含一个极大理想 m \mathfrak{m} m ,那么称 A A A 为局部环 local ring ,k = A / m k=A/\mathfrak{m} k = A / m 叫做 A A A 的剩余域 residue field 。
如果整环 A A A 的所有理想都是主理想,那么称之为主理想整环 principal integral domain 。这样的环里所有素理想都是极大的。
令 R \mathfrak{R} R 表示 A A A 中所有幂零元素构成的子集,那么它是一个理想并且 A / R A/\mathfrak{R} A / R 不包含非零的幂零元。R \mathfrak{R} R 被称作 A A A 的 幂零根 nilradical 。可以证明它同时也是 A A A 中所有素理想的交。
类似的,A A A 中所有极大理想的交 R \mathfrak{R} R 称为 Jacobson根 Jacobson radical 。x ∈ R ⟺ x\in\mathfrak{R}\iff x ∈ R ⟺ 对于任意的y ∈ A y\in A y ∈ A ,1 − x y 1-xy 1 − x y 都是单位。
环 A 1 , A 2 , … , A n A_1,A_2,\dots,A_n A 1 , A 2 , … , A n 的有限直积 direct product ∏ i = 1 n A i \prod_{i=1}^n A_i ∏ i = 1 n A i 定义为所有 ( x 1 , … , x n ) ( x i ∈ A i ) (x_1,\dots,x_n)\;(x_i\in A_i) ( x 1 , … , x n ) ( x i ∈ A i ) 构成的环,加法和乘法定义为逐项相加/相乘。
理想的运算
如果 a , b \mathfrak{a,b} a , b 都是 A A A 的理想,那么它们的和 a + b \mathfrak{a}+\mathfrak{b} a + b 也是 A A A 的理想,并且是最小的同时包含两者的理想。更一般的可以定义 ∑ i ∈ I a i \sum_{i\in I}\mathfrak{a}_i ∑ i ∈ I a i ,由所有的 ∑ i ∈ I x i \sum_{i\in I}x_i ∑ i ∈ I x i 构成,其中 x i ∈ a i x_i\in\mathfrak{a}_i x i ∈ a i 并且只有有限个 x i x_i x i 非零。这是包含所有 a i \mathfrak{a}_i a i 的最小理想。
对于 A A A 的一族理想 ( a i ) i ∈ I (\mathfrak{a}_i)_{i\in I} ( a i ) i ∈ I ,它们的交 ⋂ i ∈ I a i \bigcap_{i\in I}\mathfrak{a}_i ⋂ i ∈ I a i 也是 A A A 的理想。
理想的乘积 a b \mathfrak{ab} a b 定义为所有的 x y ( x ∈ a , y ∈ b ) xy\;(x\in\mathfrak{a},y\in\mathfrak{b}) x y ( x ∈ a , y ∈ b ) 生成的理想,i.e. 所有形如 ∑ i x i y i \sum_i x_iy_i ∑ i x i y i 的有限和。同样的我们可以定义任意有限的 一族理想的乘积。
例子:在 Z \mathbb Z Z 里所有理想都是主理想 ( n ) (n) ( n ) 。此时有 ( n ) + ( m ) = ( gcd ( n , m ) ) , ( n ) ∩ ( m ) = ( l c m ( n , m ) ) , ( n ) ( m ) = ( n m ) (n)+(m)=(\gcd(n,m)),(n)\cap(m)=(\mathop{\rm lcm}(n,m)),(n)(m)=(nm) ( n ) + ( m ) = ( g cd( n , m ) ) , ( n ) ∩ ( m ) = ( l c m ( n , m ) ) , ( n ) ( m ) = ( n m ) 。
这三种运算都是交换、结合的,并且有分配率 a ( b + c ) = a b + a c \mathfrak{a(b+c)=ab+ac} a ( b + c ) = a b + a c 。在 Z \mathbb Z Z 中我们有 ( a + b ) ( a ∩ b ) = a b \mathfrak{(a+b)(a\cap b)=ab} ( a + b ) ( a ∩ b ) = a b ,但是一般地我们只知道右边包含左边。这可以推出 a ∩ b = a b ⟺ a + b = ( 1 ) \mathfrak{a\cap b=ab\iff\ a+b}=(1) a ∩ b = a b ⟺ a + b = ( 1 ) 。
当 a + b = ( 1 ) \mathfrak{a+b}=(1) a + b = ( 1 ) 时我们称 a , b \mathfrak{a,b} a , b 互素 coprime (或者“互极大 ” comaximal )。
对于一列理想 a 1 , … , a n \mathfrak{a}_1,\dots,\mathfrak{a}_n a 1 , … , a n ,定义一个映射
ϕ : A → ∏ i = 0 n ( A / a i ) \phi:A\to\prod_{i=0}^n(A/\mathfrak{a}_i) ϕ : A → i = 0 ∏ n ( A / a i )
为 ϕ ( x ) = ( x + a 1 , … , x + a n ) \phi(x)=(x+\mathfrak{a}_1,\dots,x+\mathfrak{a}_n) ϕ ( x ) = ( x + a 1 , … , x + a n ) ,那么:
若 a i \mathfrak{a}_i a i 两两互素,则 ∏ a i = ⋂ a i \prod\mathfrak{a}_i=\bigcap\mathfrak{a}_i ∏ a i = ⋂ a i 。
ϕ \phi ϕ 是满射 ⟺ a i \iff\mathfrak{a}_i ⟺ a i 两两互素。
ϕ \phi ϕ 是单射 ⟺ ⋂ i a i = 0 \iff\bigcap_i\mathfrak{a}_i=0 ⟺ ⋂ i a i = 0 。
此外有命题:
若 a ⊆ ⋃ i = 1 n p i \mathfrak{a}\subseteq\bigcup_{i=1}^n\mathfrak{p}_i a ⊆ ⋃ i = 1 n p i ,那么存在一个 i i i 使得 a ⊆ p i \mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{p}_i a ⊆ p i 。
若 ⋂ i = 1 n a i ⊆ p \bigcap_{i=1}^n\mathfrak{a}_i\subseteq\mathfrak{p} ⋂ i = 1 n a i ⊆ p ,那么存在一个 i i i 使得 a i ⊆ p \mathfrak{a}_i\subseteq\mathfrak{p} a i ⊆ p 。如果 ⋂ i = 1 n a i = p \bigcap_{i=1}^n\mathfrak{a}_i=\mathfrak{p} ⋂ i = 1 n a i = p ,那么存在一个 a i = p \mathfrak{a}_i=p a i = p 。
定义两个理想的商 ideal quotient ( a : b ) (\mathfrak{a}:\mathfrak{b}) ( a : b ) 为所有使得 x b ⊆ a x\mathfrak{b}\subseteq\mathfrak{a} x b ⊆ a 的元素构成的理想。特别的,( 0 : b ) (0:\mathfrak{b}) ( 0 : b ) 称为 b \mathfrak{b} b 的零化子 annihilator ,记做 A n n ( b ) \mathop{\rm Ann}(\mathfrak{b}) A n n ( b ) 。
一个理想 a \mathfrak{a} a 的 根 radical 定义为 r ( a ) = { x ∈ A ∣ x n ∈ a for some n > 0 } r(\mathfrak{a})=\{x\in A\mid x^n\in\mathfrak{a}\text{ for some } n>0\} r ( a ) = { x ∈ A ∣ x n ∈ a for some n > 0 } 。如果 ϕ : A → ( A / a ) \phi:A\to(A/\mathfrak{a}) ϕ : A → ( A / a ) 是标准同态,那么 r ( a ) = ϕ − 1 ( R A / a ) r(\mathfrak{a})=\phi^{-1}(\mathfrak{R}_{A/\mathfrak{a}}) r ( a ) = ϕ − 1 ( R A / a ) 也是 A A A 的理想。
某些记号中将 r ( a ) r(\mathfrak{a}) r ( a ) 记做 a \sqrt{\mathfrak{a}} a 。
命题:
a ⊆ ( a : b ) ; ( a : b ) b ⊆ a ; ( ( a : b ) : c ) = ( a : b c ) \mathfrak{a}\subseteq(\mathfrak{a}:\mathfrak{b});\;(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})\mathfrak{b}\subseteq\mathfrak{a};\;((\mathfrak{a}:\mathfrak{b}):\mathfrak{c})=(\mathfrak{a}:\mathfrak{bc}) a ⊆ ( a : b ) ; ( a : b ) b ⊆ a ; ( ( a : b ) : c ) = ( a : b c )
( ⋂ i a i : b ) = ⋂ i ( a i : b ) \left(\bigcap_i\mathfrak{a}_i:\mathfrak{b}\right)=\bigcap_i(\mathfrak{a}_i:\mathfrak{b}) ( i ⋂ a i : b ) = i ⋂ ( a i : b )
( a : ∑ i b i ) = ⋂ i ( a : b i ) \left(\mathfrak{a}:\sum_i\mathfrak{b}_i\right)=\bigcap_i(\mathfrak{a}:\mathfrak{b}_i) ( a : i ∑ b i ) = i ⋂ ( a : b i )
r ( a ) ⊇ a ; r ( r ( a ) ) = r ( a ) ; r ( a b ) = r ( a ∩ b ) = r ( a ) ∩ r ( b ) r(\mathfrak{a})\supseteq\mathfrak{a};\;r(r(\mathfrak{a}))=r(\mathfrak{a});\;r(\mathfrak{ab})=r(\mathfrak{a\cap b})=r(\mathfrak{a})\cap r(\mathfrak{b}) r ( a ) ⊇ a ; r ( r ( a ) ) = r ( a ) ; r ( a b ) = r ( a ∩ b ) = r ( a ) ∩ r ( b )
r ( a ) = ( 1 ) ⟺ a = ( 1 ) ; r ( a + b ) = r ( r ( a ) + r ( b ) ) r(\mathfrak{a})=(1)\iff\mathfrak{a}=(1);\;r(\mathfrak{a+b})=r(r(\mathfrak{a})+r(\mathfrak{b})) r ( a ) = ( 1 ) ⟺ a = ( 1 ) ; r ( a + b ) = r ( r ( a ) + r ( b ) )
对任意正整数 n n n ,r ( p n ) = p r(\mathfrak{p}^n)=\mathfrak{p} r ( p n ) = p 。
r ( a ) r(\mathfrak{a}) r ( a ) 是所有包含 a \mathfrak{a} a 的素理想的交。
理想的扩张与收缩
令 f : A → B f:A\to B f : A → B 为一个环同态。如果 a ⊆ A \mathfrak{a}\subseteq A a ⊆ A 是一个理想,那么 f ( a ) f(\mathfrak{a}) f ( a ) 不一定是理想。定义 a \mathfrak{a} a 的扩张 extension a e \mathfrak{a}^e a e 为 B B B 中由 f ( a ) f(\mathfrak{a}) f ( a ) 生成的理想。
如果 b ⊆ B \mathfrak{b}\subseteq B b ⊆ B 是一个理想,那么 f − 1 ( b ) f^{-1}(\mathfrak{b}) f − 1 ( b ) 也一定是 A A A 的理想,称为 b \mathfrak{b} b 的收缩 contraction ,记做 b c \mathfrak{b}^c b c 。如果 b \mathfrak{b} b 是素的,那么 b c \mathfrak{b}^c b c 也是素的。反过来如果 a \mathfrak{a} a 是素的那么 a e \mathfrak{a}^e a e 不一定 是素的。对于扩张与收缩有以下命题:
a ⊆ a e c , b ⊇ b c e \mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{a}^{ec},\mathfrak{b}\supseteq\mathfrak{b}^{ce} a ⊆ a e c , b ⊇ b c e
a e = a e c e , b c ⊇ b c e c \mathfrak{a}^e=\mathfrak{a}^{ece},\mathfrak{b}^c\supseteq\mathfrak{b}^{cec} a e = a e c e , b c ⊇ b c e c
如果令 C = { b c ∣ b ⊆ B is an ideal } , E = { a e ∣ a ⊆ A is an ideal } C=\{\mathfrak{b}^c\mid\mathfrak{b}\subseteq B\text{ is an ideal}\},E=\{\mathfrak{a}^e\mid\mathfrak{a}\subseteq A\text{ is an ideal}\} C = { b c ∣ b ⊆ B is an ideal } , E = { a e ∣ a ⊆ A is an ideal } ,那么就有 C = { a ∣ a e c = a } , E = { b ∣ b c e = b } C=\{\mathfrak{a}\mid \mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{a}\},E=\{\mathfrak{b}\mid\mathfrak{b}^{ce}=\mathfrak{b}\} C = { a ∣ a e c = a } , E = { b ∣ b c e = b } ,并且 C C C 到 E E E 由扩张和收缩形成一一对应。
在特殊情况下,如果 f f f 是满射,那么 a e = f ( a ) , b c e = b , a e c = a + K e r f \mathfrak{a}^e=f(\mathfrak{a}),\mathfrak{b}^{ce}=\mathfrak{b},\mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{a}+\Ker f a e = f ( a ) , b c e = b , a e c = a + K e r f 。f f f 是单射的情况很复杂。
理想的五种运算(加法,乘法,交,商,根)的扩张与收缩也有一定性质(等于,包含,包含于),这里暂不赘述。
习题选(quan)做
我目前也做了一些第一章练习题,附下:
第一章习题选做-LaTeX 源码
第一章习题选做-PDF